bestimmt divergent beweis

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für beliebige Folgen (xn)n∈N:

Wenn (xn)n∈N gegen 0 konvergiert, divergiert (-1/x^2 n) n∈N bestimmt gegen −∞. ( lim x→0(− 1/ x^2)= −∞)

Answer 1

hallo

geht es um - n*1/x^2 oder um -1/(x^2*n)
in beiden Fallen gib einfach ein x(M)  an so dass für alle x<x(M) der Ausdruck kleiner  -M ist .
Gruß lul

Answer 2

Musst ja nur zeigen:

Wenn  lim (für n gegen unendlich)  x_n = 0

dann:  Für jedes c∈ℝ existiert ein N mit  n>N ==>  -1 / (x_n)^2 < c.

Sei also  c∈ℝ  .   Was bedeutet    -1 / (x_n)^2 < c ?

                    Falls c>0 gilt, dann gilt es ja offenbar für alle n, sei also c<0:

                                        <=>   -1 < c * (x_n)^2

                                     <=>   -1/c    >  (x_n)^2     und -1/c ist ja dann positiv,

also gilt das jedenfalls für  | x_n | < √(-1(c) .

Nun gilt aber  lim (für n gegen unendlich)  xn = 0 .  D.h.

Für eps = √(-1(c) . gibt es ein N mit n>N ==>  | xn - 0 | < eps

also             | xn | < √(-1(c) .

Da haben wir das N gefunden !