Monotonie, Symmetrie und Nullstellen berechnen

Question

Ich habe eine Funktion f(x) = x² -8x+15 und soll die Symmetrie, Monotonie und Nullstellen ausrechnen. Und ich komme kaum auf ein Ergebnis. Bei der Monotonie habe ich zuerst die ableitung gebildet f'(x)= 2x-8 und dann soll ich für f(x) null einsetzen und ich komme auf 4. Müsste ich aber nicht auf noch weiteres Ergebnis kommen? Und bei den Nullstelleb und der Symmetrie weiß ich kaum was zu tun ist

Danke für die Hilfe

Answer 1

Hallo

 das kann man durch quadratische Ergänzung ganz ohne Differentialrechnung. x^2 -8x+15=x^2-8x+16-16+15=(x-4)^2-1

also eine nach obergeöffnete Parabel mit dem Scheitel bei (4,-1)

die ist also für x>4 monoton steigend, für x<4 monoton fallend, symmetrisch zur Geraden x=4 und ihre Nullstellen sind bei (x-4)^2=1 also bei x=5 und x=3

 natürlich kann man auch die Nullstellen der Ableitung bestimmen, und dann sehen dass f'>0 für x>4 ist usw, die Nullstellen kann man auch mit pq Formel ausrechen, die man aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet hat .

Gruß lul

Answer 2

Nullstellen:

x^2 -8x+15=0 ->z.B pq-Formel

 x_1.2= 4± √ (16-15)

x_1.2= 4± 1

x₁=5

x₂=3

Answer 3

f(x) = x^2 -8x+15
f ´( x ) = 2x - 8
Stelle mit waagerechter Tangente
2x - 8 = 0
x = 4
Monotonie fallend
2x - 8 < 0
2x < 8
x < 4
Monotonie steigend
2x - 8 > 0
2x > 8
x > 4

Die Funktion fällt von - ∞ bis 4
Dann wird eine Stelle mit waagerechter Tangente
erreicht.
Dann steigt die Funktion wieder.
Die Stelle mit waagerechter Tangente ist somit ein
Tiefpunkt.

Die Funktion ist eine Parabel. Diese sind zum Scheitelpunkt
symmetrisch. Zu einer LInie x = 4 ( senkrecht wie die y-Achse )
ist die Funktion symmetrisch.

Frag nach bis alles klar ist.