Funktion auf Wendepunkt, Extrempunkt, Monotonie und Symmetrie untersuchen: f(x)= (x−3) · (0,5x²−2)

Question

Für die folgende Funktion bitte die oben genannten Punkte (Wende - und Extrempunkt, Monotonie, Symmetrie) untersuchen:

f(x)= (x − 3) · (0,5x² − 2)

 

Danke euch, gruß

Answer 1

f ( x ) = ( x − 3) · ( 0.5 * x² − 2 )

f ´ ( x ) = 1 *  ( 0.5 * x² − 2 ) + ( x - 3 ) * 0.5 * 2 * x
f ´ ( x ) = 0.5 * x² − 2  + x ^2- 3 * x
f ´( x ) = 1.5 * x^2 - 3 * x  - 2

f ´´ ( x ) = 3 * x - 3

Punkte mit waagerechter Tangente

f ´( x ) = 0
1.5 * x^2 - 3 * x  - 2 = 0  l : 1.5
x^2 - 1.5 * x  = 4 / 3  l + (3/4)^2 quadratisiche Ergänzung oder pq-Formel

x = -0.53
x = 2.53

In die 2 Ableitung eingesetzt
f´´ ( -0.53 ) = 3 * -0.53 - 3 = -4.59   = Hochpunkt
f´´ ( 2.53 ) = 3 * 2.53 - 3 = 4.59   = Tiefpunkt

( -0.53 l 6.56 ) Hochpunkt
( 2.53 l -0.56 ) Tiefpunkt

also von -unendlich bis Hochpunkt steigend
zwischen Hoch- und Tiefpunkt fallend
ab Tiefpunkt wieder steigend

Wendepunkt

f ´´ ( x ) = 3 * x - 3 = 0
3 * x - 3 = 0
x = 1
( 1 l 1 ) ist ein Wendepunkt

ohne Nachweis ( es ist zu spät am Abend )
f  ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt

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mfg Georg

Answer 2

f ( x ) = ( x − 3 ) · ( 0,5 x ² − 2 ) = 0,5 x ³ - 1,5 x ² - 2 x + 6

Verhalten im Unendlichen:

$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x)=-\infty  }$$$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x)=\infty  }$$

Extremstellen:

Erste Ableitung gleich Null setzen und nach x auflösen:

1,5 x ² - 3 x - 2 = 0

<=> x ² - 2 x = 4 / 3

<=> x ² - 2 x + 1 = 7 / 3

<=> (  x - 1 ) ² = 7 / 3

<=> (  x - 1 ) = ± √ ( 7 / 3 )

=> 
x₁ = 1 - √ ( 7 / 3 ) ≈ - 0,53 ;  
x₂ = 1 + √ ( 7 / 3 ) ≈ 2,53

Einsetzen in die zweite Ableitung:

f ' ' ( x ) = 3 x - 3

f ' ' ( - 0,53 ) < 0 => Maximum

f ' ' ( 2,53 ) > 0 => Minimum

Also: An de Stelle x₁ liegt ein Maximum und an der Stelle x₂ ein Minimum vor.

Wendepunkte:

Zweite Ableitung gleich Null setzen und nach x auflösen:

3 x - 3 = 0

<=> x = 1

Da die dritte Ableitung f ' ' ' ( x ) = 3 überall ungleich Null ist, liegt bei x = 1 tatsächlich eine Wendestelle vor.

Die jeweiligen Funktionswerte ( y-Koordinaten) erhält man durch Einsetzen der Extrem- bzw. Wendestellen in f ( x )