Bilden die Vektoren Wahr oder Falsch?

Question

Aufgabe:

Bilden die Vektoren:

a⃗ = (6   b⃗ = (1 c⃗ = ( -2 d⃗ = (1

       0          7          3         -1

       1         -1          0          0

      -7)        0)          6)        9)

eine Basis des R⁴

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin mir unsicher ob die Aufgabe eine Basis des R⁴ Bildet oder nicht.

Über hilfe wäre ich sehr dankbar!

MfG

Answer 1

Nein tun sie nicht, da sie lin. abhängig sind.

Comments

vielen dank!

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Diese Antwort ist falsch!

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Ich gehe von Spalten und nicht Zeilenvektoren aus.

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Egal ob die gegebenen Vektoren als Zeilen- oder als Spalten-Vektoren aufgefasst werden, in beien Fällen sind sie linear unabhängig und bilden eine Basis.

Answer 2

Aloha :)

Wenn du herausfinden möchtest, ob ein Satz von Vektoren linear abhängig ist oder nicht, kannst du die Vektoren als Zeilen in eine Matrix eintragen. Die Matrix kannst du dann mit elementaren Umformungen auf Stufenform bringen. Entsteht dabei eine Zeile, die nur Nullen enthällt, sind die Vektoren linear abhängig. In deinem Fall sieht das z.B. so aus:

$$\left(\begin{array}{c}6 & 0 & 1 & -7\\1 & 7 & -1 & 0\\-2 & 3 & 0 & 6\\1 & -1 & 0 & 9\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}6 & 0 & 1 & -7\\0 & 7 & -\frac{7}{6} & \frac{7}{6}\\0 & 0 & \frac{5}{6} & \frac{19}{6}\\0 & 0 & 0 & \frac{58}{5}\end{array}\right)$$

Wie du siehst, haben wir keine Zeile, die ausschließlich Nullen enthält. Die Vektoren sind also linear unabhängig und bilden daher eine Basis.