Raumdiagonalen Schnittpunkt Würfel (Allgemein!!)

Question

Aufgabe:

In einem Würfel schneiden sich die Raumdiagonalen in einem Punkt. Unter welchem Winkel schneiden sie sich?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie man den Winkel berechnen würde - Pythagoras-Satz für die notwendigen Längen und den Kosinussatz für den Winkel. 

Allerdings würde ich das gerne mal allgemein beweisen. Eine Beispielrechnung genügt ja nicht. Ich habe es einfach mlt a als allgemeine Kantenlänge versucht (vergeblich)...

!

Answer 1

Hallo

warum du das nicht mit Kantenlänge 1 berechnen willst verstehe ich nicht. die 1 kann ja eine 1 in irgeneinerEinheit sein? also 2,5cm weil das 1 inch, 1,6km ,weil das 1 Meile ist!  alle Würfeligen sind doch ähnlich un die Länge a des Würfels und die Raumdiagonale D=√3*a dann kürzt sich doch im cos Satz das a^2 einfach raus?

Also schreib auf, wie du es rechnest, denn es ist besser du kriegst das selbst raus.

Gruß lul

Comments

Um ehrlich zu sein Versuch ich das gerade allgemein zu machen mit a aber es funktioniert nicht. Mit 1 funktioniert es ohne Probleme. Also hier meine Rechnung:

Sei e die Länge der Diagonale. Sei a = 1 (Kantenlänge). Dann gilt:

 e=  (1*√3)/2 =:x

Dann gilt für den gesuchten Winkel α:

α= 2* arcsin (a/2x) 

  = 2* arcsin (1/√3)

Das sind ungefähr 70,53 grad.

Allgemein:

α= 2* arcsin (a/(a*√3)/2)

Kürzen ergibt:

α= 2* arcsin (1/2*√3) was ungefähr 30 grad ergibt ... 

Hilfe :D

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Beim letzten Schritt gibt es einen Umformungsfehler. Es soll

α= 2* arcsin (2/√3) sein was keine Lösung hat...

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Falsch:
e=  (1*√3)/2 =:x

Richtig:

e=  √3 =:x 

bzw. e=  a*√3 =:x

Answer 2

Wenn sich zwei Raumdiagonalen eines Würfels schneiden, entstehen gleichschenklige Dreiecke. Da die Kantenlänge des Würfels keine Rolle spielt, wähle ich a=2.

Eines der Dreiecke halbiere ich, sodass zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen.

Die Seitenlängen eines der rechtwinkligen Dreiecke sind 1, \(\sqrt{2}\) und \(\sqrt{3}\).

Ich berechne den gesuchten Winkel mit \(\sin\frac{1}{2}\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Umgeformt ergibt sich \(\varphi\approx 70,53°\).

Mit Kantenlänge a allgemein müssen alle Brüche mit 0.5a erweitert werden. Wenn dann mit 0.5a gekürzt wird, hat man wieder die dargestellte Rechnung.