Anstieg der Funktion und in den Nullstellen

Question

Hätte mal eine Frage bezüglich 3 Aufgaben

f(x) = 2x²-2x

Die erste ist "Welchen Anstieg hat die Funktion bei x1 ) 3 und x2 = -3

Als erstes habe ich die Ableitung gebildet f´(x) = 4x - 2

Dann habe ich einfach 3 eingesetzt also 3 = 4x-2 und da kam halt 1,25 raus. Ist das richtig? Bzw. muss ich noch was machen?
Dann die Aufgabe: Bestimmen Sie den Anstieg der Funktion in den Nullstellen.

Bei den Nullstellen habe ich x1 = 0  und x2 = 1. Muss ich hier das selbe Prinzip machen?
Und zur letzten Aufgabe: Wo verändert die Funktion ihre Monotonie? Da habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung...

Answer 1

  f´(x) = 4x - 2 ist richtig. Dies ist die Steigungsfunktion von f (x).

  Willst du die Steigung an einer bestimmten Stelle ermitteln setzt du den x-Wert ein.

  f´(3) = 4 * 3 - 2 = 10. Die Steigung an der Stelle x = 3 ist also 10.

  Genauso machts du es für die anderen x-Werte auch.

  Zur Monotonie : Die Steigung ( Monotonie ) kann positiv, negativ oder null sein.

  Monotonie > 0
  f´(x) > 0
  f´(x) = 4x - 2 > 0
  4x > 2
  x > 1/2

  Bei x > 1/2 ist die Funktion steigend. Bei x < 1/2 fallend.
  Bei x = 0 ist die Steigung null. Ein Extrempunkt.
  Links vom Extrempunkt ist die Funktion fallend, rechts vom Extrempunkt ist
die Funktion steigend. Der Extrempunkt ist ein Minimum ( Tiefpunkt ).

  Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg

Comments

Ah cool danke :) werde mich mal damit genauer beschäftigen. Danke Danke :)

Answer 2

Dann habe ich einfach 3 eingesetzt also 3 = 4x-2

Das ist ein grundsätzlicher Fehler. Der Funktionswert der ersten Ableitung f ' ( x ) gibt die Ableitung an der Stelle x an. Du musst also den Wert von x in den Funktionsterm von f ' ( x ) einsetzen und den Funktionswert ausrechnen, also:

f ' ( 3 ) = 4 * 3 - 2 = 10

bzw.

f ' ( - 3 ) = 4 * ( - 3  ) - 2  = - 14

 

Bei den Nullstellen habe ich x1 = 0  und x2 = 1.

Ja, auch hier musst du die Nullstellen in die erste Ableitung einsetzen und den Funktionswert von f ' ( x ) ausrechnen:

f ' ( 1 ) = 4 * 1 - 2 = 2

f ' ( 0 ) = 4 * 0 - 2 = - 2

 

Eine stetige Funktion kann ihre Monotonie höchstens an den Nullstellen ihrer ersten Ableitung f ' ( x ) ändern. Wenn die Ableitung f ' ( x ) an diesen Stellen einen Vorzeichenwechsel hat, dann ändert f ( x ) an diesen Stellen das Vorzeichen ihrer Steigung von negativ auf positiv oder umgekehrt. 

Die Ableitung 

f ' ( x ) = 4 x - 2

hat nur eine Nullstelle, nämlich x = 0,5 Da f ' ( x ) eine lineare Funktion ist, ändert sie dort auch ihr Vorzeichen. Daher ändert f ( x ) an dieser Stelle ihr Monotonieverhalten.

Eine Änderung des Monotonieverhaltens von f ( x ) bedeutet übrigens, dass f ( x ) an dieser Stelle einen Extremwert hat.

 

Hier ein Schaubild von f ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%C2%B2-2x+from-3to3