Koordinaten bzgl. Basis C auf injektivität bzw. surjektivität prüfen

Question

Aufgabe:

Seien \( V \) und \( W \) Vektorräume über \( \mathbb{R} \) mit Basen \( B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \) bzw. \( C=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) Sei \( f: V \rightarrow W \) linear, gegeben durch \( c[f]_{B}=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)
Geben Sie die Koordinaten von \( f\left(2 v_{1}+v_{2}-3 v_{3}+2 v_{4}\right) \) bezüglich der Basis \( C \) an. Ist \( f \) injektiv? Ist \( f \) surjektiv? Liegt \( 3 w_{1}+5 w_{2} \) in \( \operatorname{im}(f) ? \)

Answer 1

Berechne

$$\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)*\begin{pmatrix} 2\\1\\-3\\2 \end{pmatrix} $$

Der Ergebnisvektor enthält die gesuchten 3 Koordinaten.

Es ist dim(V)= 4 (Da 4 Elemente in der Basis) und rang=2  (Matrix hat eine Nullzeile) , also wegen

dim(V) = rang(f) + dim Kern (f) ==>    dim Kern (f)=2 (also nicht injektiv) und dim Bild (f) = 2 ,

also nicht surjektiv.

Für die letzte Frage löse:

$$\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)*\begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\5\\0 \end{pmatrix} $$

und du erhältst mögliche Koordinaten ( bzgl B ) eines Urbildes von 3w1+5w2.

Eine Lösung ist -9/2 ; 5/2 ; 0 ; 0 .

Comments

wie kommt man bei dem letzten Teil zu dem Ergebnis? Das Ergebnis ist richtig aber für mich ist der Weg dahin nicht nachvollziehbar