Menge von orthogonalen Vektoren linear unabhängig - Beweis

Question

Aufgabe:

:)

Ich müsste folgendes Beweisen:

Sei V ein -Vektorraum mit Skalarprodukt (·|·) : V × V → R . Sei M ⊆ V \{0} eine Menge von paarweise orthogonalen Vektoren (d.h. es gilt (b|b') = 0 für beliebige b,b′ ∈ M mit b = b'). Beweisen Sie, dass M dann linear unabhängig ist.

Problem/Ansatz:

Das ist doch eigentlich logisch? Natürlich sind orthogonale Vektoren nicht parallel und damit linear unabhängig, aber wie beweise ich das formal korrekt?

Vielen Dank für jede Antwort!

Comments

(Hinweis: Diese Aussage ist implizit in Satz 3.4.14 enthalten. Sie dürfen diesen Satz für die
Lösung dieser Aufgabe nicht verwenden.)

Answer 1

Hallo

 sie sind ja nicht alle parallel, sondern nur paarweise!

schreibe die lineare Unabhängigkeit hin: Beh.  ∑a_i*v_i=0  nur für alle a_i=o

multipliziere skalar mit einem vk du weist <vi,vk>=0 für i≠k

Gruß lul

Comments

würde das auch gehen:

sum ai vi = 0 gilt nicht, da v1, v2 ,..., vn aus M orthogonal sind, und daher das skalarprodukt (.|.) = 0 ergibt. Die verschiedenen Vektoren-paare ergeben Null, welches dem sum ... widerspricht. Folglich ist M linear unabhängig

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was meinst du mit "a_i=o"