Zeigen sie alle Untervektorräume von Z_5^2 und Z_3^3 auf

Question

Aufgabe:

Zeigen sie alle Untervektorräume des Z₅²  und des Z₃² auf.

Problem/Ansatz:

Stehe leider voll auf dem Schlauch und komm nicht weiter. Freu mich über jede Hilfe.

Answer 1

Es hat ja Z₃ nur die Elemente  0 ; 1  ; 2=-1.

Also hat Z₃² genau 9 Elemente .

(0;0) (1;0) (-1;0) (0;1) (1;1) (-1;1) (0;-1) (1;-1) (-1; -1) .

(0;0) alleine bildet einen Unterraum, den 0-Raum.

Jeder andere Unterraum muss auch (0;0) enthalten.

Nimm also mal einen dazu :. (0;0) (1;0). Jedes El. braucht sein

inverses, also ist (-1;0) auch dabei.  Und die drei

(0;0) (1;0)  (-1;0)   bilden in der Tat einen Unterraum; denn

die Menge ist abgeschlossen gegenüber Addition und Multiplikation

mit Elementen des Grundkörpers.

entsprechend bekommst du auch :

(0;0) (0;1) (0;-1)   oder auch

(0;0)  (1;1)  (-1;-1).

Das sind also schon mal 4 Unterräume und der ganze

Raum selbst gibt 5.