Question

Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass (x^n)^m = x^{n·m} für alle n,m ∈Z und x ∈ K \{0} gilt

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kann jemand mir bitte vielleicht dabei helfen und erklären ? DANKE : )

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Vom Duplikat:

Titel: Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass

Stichworte: analysis,körper

kann jemand mir bitte vielleicht dabei helfen und erklären ? es wäre sehr nett __DANKE : ) 

Answer 1

Hallo Analysis, ich beweise zunächst einmal deinen Satz für n, m ∈ ℕ.  Siehe Bild.  Hallo MatheLounge Gemeinde, geht das so oder gibt es einen besseren Beweis?

Comments

Da Potenzen induktiv definiert werden, ist ein Induktionsbeweis das einzig Wahre.
(Neun Pünktchen sind es nicht !)

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Hallo hj2166, in Wikipedia steht unter „Potenzen“ leider keine induktive Definition.  Dann probiere ich das:
xⁿ = x * x^n-1 für n ≥ 2
      = x für n = 1
(xⁿ)^m = xⁿ * (xⁿ)^m-1 für m ≥ 2
              = xⁿ für m = 1

Stimmt das?  Und wie geht’s dann weiter?

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Induktion nach m :

  Induktionsanfang :  m = 1
    (x^n)^1 =_(Def) x^n = x^(n·1)

  Induktionsschritt  m → m+1
    Sei (x^n)^m = x^{n·m} vorausgesetzt.
    Zu zeigen ist dann  (x^n)^{m+1} = x^n·(m+1)

    (x^n)^{m+1} =_(Def) (x^n)^m·x^n =_Vor x^{n·m}·x^n
       =_(#) x^{n·m+n} = x^n·(m+1)

Beweis von (#) :  x^k·x^n = x^{k+n} :  Induktion nach n

  Induktionsanfang :  x^k·x^1 = x^k·x = x^{k+1}

  Induktionsschritt  n → n+1
    Sei  x^k·x^n = x^{k+n}  vorausgesetzt.
    Zu zeigen ist dann  x^k·x^{n+1} = x^{k+n+1}

    x^k·x^{n+1} =_(Def) x^k·(x^n·x) = (x^k·x^n)·x =_(Vor) x^{k+n}·x
      =_(Def) x^(k+n)+1 = x^k+(n+1)

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Hallo hj2166, grandios!!  Ich hatte gedacht, man muss einen „zweidimensionalen“ Induktionsbeweis machen, aber das ist gar nicht nötig.  Würde dir gerne eine „Beste Antwort“ geben, aber dein Beweis ist ja leider ein Kommentar.  :-)