0 Daumen
445 Aufrufe

Aufgabe:

a)Es seien G eine Gruppe und a∈G. Zeige, dass ord(a-1)= ord a.

b) Man zeige: Ist f: G→ H ein Gruppenhomomorphismus und a∈G mit ord a<∞, so ist ord f(a) ein Teiler von ord a.

c) Ist die Diedergruppe D6 isomorph zur alternierenden Gruppe A4?

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht wie ich genau an die Aufgabe ran gehen soll.

Avatar von

Was hast du schon selbst versucht?

a) Wie würde man zeigen, dass zwei Elemente die gleiche Ordnung haben?

b) Was würde passieren, wenn ord f(a) kein Teiler von ord a ist?

c) Besitzt die A4 irgendwelche Eigenschaften, die die D6 nicht hat? Tip: Es geht um Ordnungen von Elementen. Was machen Isomorphismen mit Ordnungen? Welche Ordnungen haben die Elemente von D6, welche Ordnungen haben die Elemente von A4?

1 Antwort

+1 Daumen

Die Ordnung eines Elementes ist die kleinste nat. Zahl n für die gilt

a^n = a*a*…*a = e.

Wenn du diese Gleichung n mal  mit a^(-1) multiplizierst, hast

  e= (a^(-1) ) ^n . Und mit einer kleineren Zahl gelingt das nicht, sonst

wäre es bei a auch schon gelungen.

Also haben a und a^(-1) die gleiche Ordnung.

Avatar von 287 k 🚀

Und wie wäre es bei b und c der Fall?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community