Konvergenz von ((-1)^n)/(n-√n)

Question

Aufgabe:

$$\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n-\sqrt{n}}}$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß bei dieser Aufgabe absolut nicht weiter.

Als erstes hätte ich den Index so umgestellt, das er bei 0 beginnt. Aber selbst dann weiß ich nicht weiter.

PS: Gibt es irgendwelche guten Links / Bücher die das Thema grundlegend erklären und ggf. mit vielen Beispielsübungen?

Comments

Sollst du nur angeben, ob es konvergiert, oder auch den genauen Wert?

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Nur ob es konvergiert. Bzw. ob es absolut konvergiert.

Answer 1

Wir wollen das Leibniz-Kriterium verwenden, um die Konvergenz zu zeigen.

Die Reihenglieder haben die Gestalt \((-1)^na_n\) mit \(a_n=\frac{1}{n-\sqrt{n}}\).

1. Die \(a_n\) bilden eine Nullfolge:

\(a_n\lt \frac{1}{n}\rightarrow 0\) für \(n\rightarrow \infty\).

2. Die \(a_n\) bilden eine monoton fallende Folge:

\((\sqrt{n}+1)^2=n+2\sqrt{n}+1\gt n+1\)

\(\Rightarrow \sqrt{n}+1\gt \sqrt{n+1}\Rightarrow n-\sqrt{n}\lt (n+1)-\sqrt{n+1}\)

\(\Rightarrow a_n=\frac{1}{n-\sqrt{n}}\gt\frac{1}{(n+1)-\sqrt{n+1}}=a_{n+1}\).

Nach Leibniz konvergiert die Reihe.