Gleichung 1+x+x2+...+xN=1 lösen

Question

Aufgabe:

Sei N∈ℕ. Bestimmen Sie alle Lösungen w∈ℂ der Gleichung

1+x+x²+...+x^N=1

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß leider nicht wie...

Ich dachte man könnte die PQ Formel verwenden, aber da wir N ja nicht wissen, geht das nicht...

Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Eine Lösung ist schon mal x_1=0.

x+x²+...+x^N=0

Für N=2: x+x²=0 bzw. x(x+1)=0 → x_1=0; x_2=-1

Für N=3: x(1+x+x²)=0, also x_1=0 und 1+x+x²=0  <-- mit Lösungsformel

Mit wolframalpha habe ich für die Summe folgende Formel gefunden:

x+x²+...+x^N=(x (x^N - 1))/(x - 1) = 0

Damit müsste es allgemein lösbar sein.

Answer 1

Hallo,

du kannst hier direkt die Formel für die geometrische Reihe nutzen, oder du machst folgendes:

Offensichtlich löst x=1 die Gleichung nicht.

Wir dürfen daher mit (1-x) multiplizieren:

(1+x+...+x^N )=1

(1+x+...+x^N )(1-x)=1-x

(1+x+...+x^N )-(x+x²+...x^N+1)=1-x

1-x^N+1 =1-x

x^N+1=x

x(x^N-1)=0

Die erste Lösung ist x=0, die anderen N-1 Lösungen sind die Einheitswurzeln von 1, bis auf 1 selbst.

Comments

Dann sorge ich mal dafür, dass du bei den Daumen auf keinen Fall leer ausgehst.

Answer 2

Aloha :)

Das ist die endliche geometrische Reihe:$$1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\quad;\quad x\ne0$$$$1+x+x^2+\cdots+x^n=n+1\quad;\quad x=1$$

Die rechte Seite kannst du nun gleich $1$ setzen:$$\left.\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=1\quad\right|\;\cdot(1-x)$$$$\left.1-x^{n+1}=1-x\quad\right|\;-1$$$$\left.-x^{n+1}=-x\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.x^{n+1}=x\quad\right|\;:x\quad (x=0\text{ ist die triviale Lösung})$$$$x^n=1$$$$x=e^{i2k\pi/n}\quad;\quad k=1,2,\ldots,n-1\quad (\text{für }k=0\text{ wäre } x=1\in\mathbb{R})$$Wir haben also $n$ Lösungen gefunden: die $0$ und alle n-ten komplexen Wurzeln der $1$ bis auf die $1$ selbst.

Comments

Wir haben also n+1 Lösungen gefunden

Gratuliere, das schafft nicht jeder.

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Ja, hab's schon selbst gemerkt und korrigiert... Aber Danke fürs Aufpassen :)

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Big brother is watching you  und hat fast immer recht :-)

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Ja, das ist doch gut... Jeder macht mal Fehler, sogar ich :)

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Das sehe ich auch so. Bei mir würde ich das "mal" und das "sogar" sogar weglassen.

Zur Zeit bist du hier im Forum mein Held :-)