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Aufgabe:

Sei N∈ℕ. Bestimmen Sie alle Lösungen w∈ℂ der Gleichung

1+x+x²+...+xN=1


Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß leider nicht wie...

Ich dachte man könnte die PQ Formel verwenden, aber da wir N ja nicht wissen, geht das nicht...

Kann mir jemand weiterhelfen?

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Eine Lösung ist schon mal x_1=0.

x+x2+...+xN=0

Für N=2: x+x2=0 bzw. x(x+1)=0 → x_1=0; x_2=-1

Für N=3: x(1+x+x2)=0, also x_1=0 und 1+x+x2=0  <-- mit Lösungsformel


Mit wolframalpha habe ich für die Summe folgende Formel gefunden:

x+x2+...+xN=(x (xN - 1))/(x - 1) = 0

Damit müsste es allgemein lösbar sein.

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

du kannst hier direkt die Formel für die geometrische Reihe nutzen, oder du machst folgendes:

Offensichtlich löst x=1 die Gleichung nicht.

Wir dürfen daher mit (1-x) multiplizieren:

(1+x+...+xN )=1

(1+x+...+xN )(1-x)=1-x

(1+x+...+xN )-(x+x2+...xN+1)=1-x

1-xN+1 =1-x

xN+1=x

x(xN-1)=0

Die erste Lösung ist x=0, die anderen N-1 Lösungen sind die Einheitswurzeln von 1, bis auf 1 selbst.

Avatar von 37 k

Dann sorge ich mal dafür, dass du bei den Daumen auf keinen Fall leer ausgehst.

+1 Daumen

Aloha :)

Das ist die endliche geometrische Reihe:1+x+x2++xn=1xn+11x;x01+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\quad;\quad x\ne01+x+x2++xn=n+1;x=11+x+x^2+\cdots+x^n=n+1\quad;\quad x=1

Die rechte Seite kannst du nun gleich 11 setzen:1xn+11x=1  (1x)\left.\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=1\quad\right|\;\cdot(1-x)1xn+1=1x  1\left.1-x^{n+1}=1-x\quad\right|\;-1xn+1=x  (1)\left.-x^{n+1}=-x\quad\right|\;\cdot(-1)xn+1=x   : x(x=0 ist die triviale Lo¨sung)\left.x^{n+1}=x\quad\right|\;:x\quad (x=0\text{ ist die triviale Lösung})xn=1x^n=1x=ei2kπ/n;k=1,2,,n1(fu¨k=0 wa¨re x=1R)x=e^{i2k\pi/n}\quad;\quad k=1,2,\ldots,n-1\quad (\text{für }k=0\text{ wäre } x=1\in\mathbb{R})Wir haben also nn Lösungen gefunden: die 00 und alle n-ten komplexen Wurzeln der 11 bis auf die 11 selbst.

Avatar von 153 k 🚀

Wir haben also n+1 Lösungen gefunden

Gratuliere, das schafft nicht jeder.

Ja, hab's schon selbst gemerkt und korrigiert... Aber Danke fürs Aufpassen :)

Big brother is watching you  und hat fast immer recht :-)

Ja, das ist doch gut... Jeder macht mal Fehler, sogar ich :)

Das sehe ich auch so. Bei mir würde ich das "mal" und das "sogar" sogar weglassen.

Zur Zeit bist du hier im Forum mein Held :-)

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