Für alle a, b ∈ Z sei a ∗ b = a + (b − 3). Zeigen Sie, dass (Z, ∗) eine abelsche Gruppe ist.

Question

Meine Aufgabe, ist oben schon erläutert.

Für alle a, b ∈ Z sei a ∗ b = a + (b − 3). Zeigen Sie, dass (Z, ∗) eine abelsche Gruppe ist.

Ich hab leider keinen Ansatz.

Answer 1

Du musst die Gruppenaxiome nachprüfen:

1. Abgeschlossenheit:

Wenn a,b ∈ℤ dann muss auch a*b  ∈ℤ gelten.

Prüfung:  Seien a,b ∈ℤ  ==>  a*b = a+b-3 und das ist wieder  ∈ ℤ.

2. Assoziativität:   Seien a,b,c  ∈ℤ

 ==> ( a*b ) * c = ( a+b-3)*c =  a+b-3+c-3 = a+b+c-6   und

          a* ( b  * c ) = a* ( b+c-3) = a +b+c-3 - 3 = a+b+c-6

Beides gleich, also assoziativ.

3. Es gibt ein neutrales El.  :  Suche also ein e, so dass für alle

    a∈ℤ  gilt     a*e = a   und   e*a = a

Das klappt mit e=3.

4. Zu jedem    a∈ℤ  gibt es ein inverses Element:

 Sei a ∈ℤ ==>   a * (6-a) = a + (6-a) - 3 =  3

also ist 6-a das inverse El. zu a.

fehlt noch:  "abelsch"  .  Kannst du wie bei 1. beweisen.

Comments

Dankesehr!!!!

Answer 2

Seien a,b,c ∈ ℤ.

1. Zeige, dass
   

           a*(b*c) = (a*b)*c

   ist.

2. Zeige, dass
   

           a*3 = 3*a = a

   ist.

3. Zeige, dass

           a*(6-a) = (6-a)*a = 3

   ist.

4. Zeige, dass
   

           a*b = b*a

   ist.
   

Comments

Vielen lieben Dank, dafür!

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Könntest du mir bei 2. helfen, alle anderen habe ich hinbekommen.

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Zeige, dass a*3 = 3*a = a ist.
Zeige, dass a*(6-a) = (6-a)*a = 3 ist.

Das setzt voraus, dass Du das Neutrale und die Inversen bereits kennst. Genau die sollst Du aber erst einmal finden und beweisen.

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Dabei habe ich leider Probleme, das versteh ich leider nicht, sry.

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Für ein Neutrales gilt:

a*n = a (analog zum "normalen" Rechnen a+0=a oder a*1 = a)

Hier musst Du Deine eigene Rechenregel einsetzen:

a ∗ n = a

<==> a + (n − 3) = a

<==> n = 3

Da Du in einer Gruppe meist keine Kommutativität hast, musst Du eigentlich das Ganze auch noch anders herum beweisen:

n * a = a

<==> n = 3

Wenn Du zuerst die Kommutativität beweist, reicht nur einer der beiden Rechnungen.

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okay, danke, ich werde es nochmal versuchen zu verstehen. Danke

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Zu 2:

        a*3 = a + (3 - 3) =a + 0 = a

und

        3*a = 3 + (a-3) = a

@migast1234 Wenn a*3 = 3*a = a für alle a ist, dann ist damit gezeigt, dass es ein neutrales Element gibt. Wie man zu der Vermutung gelangt, dass 3 das neutrale Element ist, ist nicht Bestandteil des Beweises.

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Auch hier noch einmal vielen Dank!

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Wie man zu der Vermutung gelangt, dass 3 das neutrale Element ist, ist nicht Bestandteil des Beweises.

Doch, genau das gehört ebenfalls zu einem Beweis. "Man sieht das" ist kein mathematisch gültiges Argument, und in vielen Fällen ist es nicht so einfach wie hier.

(Auch in Fachbüchern wird für "Beweise" oft Wissen benutzt, das man eigentlich gar nicht haben kann, außer wenn man den Beweis und deren Ergebnis nicht bereits kennt. Das ist aber nicht seriöse Mathematik.)

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Das mit dem neutralen Element habe ich jetzt verstanden, nur das inverse noch nicht, wie man auf die 6-a kommt. Kann mir das vielleicht noch jemand erklären? Das wäre sehr nett!

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Für das Inverse gilt immer

Element verknüpft mit seinem Inversen = Neutrales

Speziell hier:

a * inv(a) = n = 3

<==> a + (inv(a) − 3) = 3

<==> inv(a) = 6-a

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okay, dankeschön dafür.