0 Daumen
190 Aufrufe

Aufgabe:

I) Berechnen Sie die einseitigen Grenzwerte der Funktion f mit Dem Defintionsbereich R \ {0}

II) Lässt sich f stetig nach x=0 fortsetzen? Wenn ja geben sie die Fortsetzung mit an

\( f(x):=1+x \sqrt{1+\frac{4}{x^{2}}} \)

\( \lim \limits_{x \searrow 0} f(x) \) und \( \lim \limits_{x \nearrow 0} f(x) \)

Ich bekomms einfach nicht hin und wäre sehr dankbar über Hilfe.

von

Hast Du die Funktion geplottet?

Unbenannt.PNG

Beim Grenzwert von oben gegen Null kann man beim zweiten Summanden das 1 weglassen, das x kürzen, und dann steht da 1 + \( \sqrt{4} \)

Beim Grenzwert von unten ebenso, und dann steht 1 - \( \sqrt{4} \) wobei das minus vom x vor der Wurzel kommt.

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

$$f(x)=1+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}=1+x\sqrt{\frac{1}{x^2}\left(x^2+4\right)}=1+x\sqrt{\frac{1}{x^2}}\sqrt{x^2+4}$$$$\phantom{f(x)}=1+x\frac{1}{|x|}\sqrt{x^2+4}=1+\mbox{sign}(x)\sqrt{x^2+4}\quad;\quad x\ne0$$$$\lim\limits_{x\nearrow0}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\left(1+(-1)\sqrt{x^2+4}\right)=-1$$$$\lim\limits_{x\searrow0}f(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(1+(+1)\sqrt{x^2+4}\right)=3$$

Bei \(x=0\) liegt eine Sprungstelle vor, daher ist die Funktion bei \(x=0\) nicht stetig und kann auch nicht stetig ergänzt werden.

von 41 k

Vielen Dank für die Mühe! Eine Frage hab ich noch, ist das Ziel bei so einer Aufgabe also einen Bruch mit  x / |x| zu erhalten um die sign Funktion zu verwenden?

Ziel einer solchen Aufgabe ist es, den Funktionsterm so umzuformen, dass man den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert erkennen kann.

Die Signum-Funktion hat sich hier sehr gut angeboten, weil die kritische Stelle bei \(x=0\) liegt, und weil man damit die nötige Fallunterscheidung zwischen \(x<0\) und \(x>0\) direkt in einer Formel schreiben kann.

+1 Daumen

Nimm mal erst den Fall x>0 und klammere in der Wurzel 1/x^2 aus und ziehe es davor,

dann hast  du     f(x) = 1 + sqrt( x^2 + 4 )

und für x gegen 0 geht das gegen 1 + 2 = 3 .

Bei x<0 entsprechend erhältst du als GW  -1 .

Also nicht stetig ergänzbar.

von 198 k 🚀

Vielen Dank!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community