Wie stelle ich ein Polynom dritten Grades mittels komplexer Nullstellen auf?

Question

Aufgabe:

Finden Sie ein Polynom P mit deg(P) = 3 und, sodass P Nullstellen an

z₁:= 2 +i, z₂:= 2 + i, z₃:= 2i

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt das Polynom 3. Grades mittels Linearfaktorisierung aufzustellen. Allerdings komme ich da schnell an meine Grenzen mit dem aufstellen. Bei mir kommt übelster Quatsch raus. Hoffe, mir kann jemand weiterhelfen.

P_(x)= (x-2+i) (x-2+i) (x-2i) und nun eigentlich nur ausmultiplizieren. Allerdings bekomme ich das X nicht gehandhabt bzw. weiß nicht ob ich es weglassen kann etc. Zudem macht mich das +i und das sogenannte *i konfus...

Answer 1

P(x)= (x-(2+i))^2  *  (x-2i)  binomische Formel !

      = ( x^2 - 2*x*(2+i) + (2+i)^2 ) * (x-2i)

      = ( x^2 - (4+2i)x + 3  +4i )*  (x-2i)

    = x*( x^2 - (4+2i)x + 3  +4i ) - 2i( x^2 - (4+2i)x + 3  +4i )

   =  x^3 -(4+4i)x^2 +(-1+12i)x +8-6i

Comments

Könntest du dort eventuell ein paar Zwischenschritte einbauen? Mir ist nicht ganz klar, wie man auf Schritt 2 bzw. 3 kommt

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Ist es so besser ?

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Wie kommt man auf das x nach der Klammer und auf die 3?

= ( x2 - (4+2i)x + 3  +4i )*  (x-2i)

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Das war ein Tippfehler im Schritt davor. da muss nat. auch das x hin.

Korrigiere ich gleich.

und die 3 kommt von

(2+i)^2  =  4 + 4i + i^2 = 4 +4i - 1 = 3+4i