Identität zweier Terme: Summe und Bruch (xn - yn)/(x-y) zeigen

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Hallo Freunde! Weiß einer von euch, wie man diese Identität zeigt? Ich sitze schon eine ganze Weil daran, aber komme nicht drauf...


Aufgabe:

Zeigen Sie für n∈N\{0} n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} und x,y∈R x, y \in \mathbb{R} die Gleichheit


xn−ynx−y=∑k=0n−1xkyn−1−k \frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k}

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📘 Siehe "Analysis" im Wiki

3 Antworten

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Beweise die Gültigkeit dieser Identität mit vollständiger Induktion.

Avatar von 56 k 🚀

Danke, aber leider wird mein Problem dadurch nur verschoben. Gehen wir rüber zum Induktionsschritt.


xn+1−yn1x−y=xnx−ynyx−y\frac{x^{n+1} - y^{n1}}{x-y} = \frac{x^{n}x - y^{n}y}{x-y}


Aber wie dann weiter? Ich habe ein bisschen umgeformt und kam auf:


...=(∑k=0n−1xkyn−1−k)⋅(x−y)+ynx−xnyx−y ... =( \sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k} )\cdot (x-y) + \frac{y^{n}x - x^{n}y}{x-y}


...womit ich wieder bei meinem Anfangsproblem wäre. Kannst du mir bitte sagen, was ich falsch mache?

von

Du solltest die Behauptung umformen zu xn−yn=(x−y)⋅∑... x^n-y^n=(x-y)\cdot\sum\limits_{}^{}{...} , dann kannst du auch einen vernünftigen Induktionsbeweis starten.

von

Okay, danke, dann also:


xn+1−yn+1=x^{n+1} - y^{n+1} =

(xn−yn)(x+y)−xny+ynx(x^{n} - y^{n})(x+y)- x^{n}y + y^{n}x


Dies ist die einzige Umformung, die mir einfällt, aber ich gelange mit ihr nicht zum Ziel...

von

Ich sehe nicht, dass du mit der von mir umgeformten Behauptung einen INDUKTIONSBEWEIS gestartet hättest...

von

Das ist der Induktionsschritt. Sorry, habe IA und IV ausgelassen, um nicht so viel tippen zu müssen.


IA:  ...


IV:  xn−yn= x^n - y^n =  (x−y)∑k=0n−1(...)(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1} (...)


IS:

 xn+1−yn+1=xnx−ynyx^{n+1} - y^{n+1} = x^{n}x - y^{n}y

=(xn−yn)(x+y)−xny+ynx=(x^n -y^n)(x+y) - x^{n}y + y^{n}x

=(x+y)(x−y)∑k=0n−1(...)−xny+ynx= (x+y)(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1} (...) -x^{n}y + y^{n}x

=(x2−y2)∑k=0n−1(...)−xny+ynx= (x^2 - y^2)\sum\limits_{k=0}^{n-1}(...) - x^{n}y + y^{n}x

Jetzt weiß ich leider nicht weiter. Kannst du mi bitte helfen?

von

Die Induktionsvoraussetzung ist (x−y)∑k=0n−1xkyn−1−k=xn−yn(x-y)\sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k}=x^n-y^n

Induktionsschritt: Jetzt kommt ein neuer Summand dazu (statt bis n-1 wird jetzt bis (n+1)-1, also bis n summiert).

Der neue Summand in der Summe heißt dann xny−1x^ny^{-1} und wird links mit (x-y) multipliziert. Links kommt somit  xny−1x^ny^{-1}(x-y) dazu.

Addiere also zur Induktionsvoraussetzung auf beiden Seiten  xny−1x^ny^{-1}(x-y) und zeige, dass rechts dann xn+1−yn+1x^{n+1}-y^{n+1}  rauskommt.

von
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Bringe den Nenner auf die andere Seite und multipliziere aus, indem Du die Gesetze der Summation benutzt.

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Hallo,

Induktion ist hier nicht vonnöten.

Multipliziere mit (x-y) und rechne dann die rechte Seite aus. Da heben sich fast alle Summanden weg.

Avatar von 37 k

Habs jetzt hinbekommen, danke! :) Man soll nun mithilfe dieser Identität zeigen, dass

 f : D→R,f(x)=xnf: D \to \mathbb R, f(x) = \sqrt[n]{x}

für D=[1,∞)D = [1, \infty) Lipschitz-stetig ist. Hast du dafür auch eine Idee?

von

Verwende:

∣xn−yn∣=∣x−y∣∑k=0n−1xnkynn−1−k<=L∣x−y∣|\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}|=\frac{|x-y|}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{k} \sqrt[n]{y}^{n-1-k}}<=L|x-y|

Der Faktor

1∑k=0n−1xnkynn−1−k\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{k} \sqrt[n]{y}^{n-1-k}}

wird maximal für möglichst kleine x,y also x=y=1. Dann ist

L=1∑k=0n−11=1nL=\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} 1}=\frac{1}{n}

von

Vielen Dank! Wie bist du aber auf den ersten Umformungsschritt gekommen?

von

Obwohl, vergiss die Frage. Ich habe eine andere: Woran hast du erkannt, dass der Ausdruck maximal wird für möglichst kleine x, y? Kannst du mir bitte noch diese Frage beantworten?

von

Ein Bruch wird groß wenn der Nenner klein wird.

von

Stimmt, sorry, hatte mich verguckt

von

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