+1 Daumen
200 Aufrufe

Hallo Freunde! Weiß einer von euch, wie man diese Identität zeigt? Ich sitze schon eine ganze Weil daran, aber komme nicht drauf...


Aufgabe:

Zeigen Sie für \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) und \( x, y \in \mathbb{R} \) die Gleichheit


$$ \frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k} $$

von

3 Antworten

0 Daumen

Beweise die Gültigkeit dieser Identität mit vollständiger Induktion.

von 11 k

Danke, aber leider wird mein Problem dadurch nur verschoben. Gehen wir rüber zum Induktionsschritt.


\(\frac{x^{n+1} - y^{n1}}{x-y} = \frac{x^{n}x - y^{n}y}{x-y} \)


Aber wie dann weiter? Ich habe ein bisschen umgeformt und kam auf:


\( ... =( \sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}   )\cdot  (x-y) + \frac{y^{n}x - x^{n}y}{x-y} \)


...womit ich wieder bei meinem Anfangsproblem wäre. Kannst du mir bitte sagen, was ich falsch mache?

Du solltest die Behauptung umformen zu \( x^n-y^n=(x-y)\cdot\sum\limits_{}^{}{...} \), dann kannst du auch einen vernünftigen Induktionsbeweis starten.

Okay, danke, dann also:


\(x^{n+1} - y^{n+1} = \)

\((x^{n} - y^{n})(x+y)- x^{n}y + y^{n}x \)


Dies ist die einzige Umformung, die mir einfällt, aber ich gelange mit ihr nicht zum Ziel...

Ich sehe nicht, dass du mit der von mir umgeformten Behauptung einen INDUKTIONSBEWEIS gestartet hättest...

Das ist der Induktionsschritt. Sorry, habe IA und IV ausgelassen, um nicht so viel tippen zu müssen.


IA:  ...


IV:  \( x^n - y^n = \) \((x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1} (...)\)


IS:

 \(x^{n+1} - y^{n+1} = x^{n}x - y^{n}y\)

\(=(x^n -y^n)(x+y) - x^{n}y + y^{n}x  \)

\(= (x+y)(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1} (...) -x^{n}y + y^{n}x  \)

\(= (x^2 - y^2)\sum\limits_{k=0}^{n-1}(...) - x^{n}y + y^{n}x  \)

Jetzt weiß ich leider nicht weiter. Kannst du mi bitte helfen?

Die Induktionsvoraussetzung ist \((x-y)\sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k}=x^n-y^n\)

Induktionsschritt: Jetzt kommt ein neuer Summand dazu (statt bis n-1 wird jetzt bis (n+1)-1, also bis n summiert).

Der neue Summand in der Summe heißt dann \(x^ny^{-1}\) und wird links mit (x-y) multipliziert. Links kommt somit  \(x^ny^{-1}\)(x-y) dazu.

Addiere also zur Induktionsvoraussetzung auf beiden Seiten  \(x^ny^{-1}\)(x-y) und zeige, dass rechts dann \(x^{n+1}-y^{n+1}\)  rauskommt.

0 Daumen

Bringe den Nenner auf die andere Seite und multipliziere aus, indem Du die Gesetze der Summation benutzt.

von
0 Daumen

Hallo,

Induktion ist hier nicht vonnöten.

Multipliziere mit (x-y) und rechne dann die rechte Seite aus. Da heben sich fast alle Summanden weg.

von 35 k

Habs jetzt hinbekommen, danke! :) Man soll nun mithilfe dieser Identität zeigen, dass

 \(f: D \to \mathbb R, f(x) = \sqrt[n]{x} \)

für \(D = [1, \infty) \) Lipschitz-stetig ist. Hast du dafür auch eine Idee?

Verwende:

$$|\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}|=\frac{|x-y|}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{k} \sqrt[n]{y}^{n-1-k}}<=L|x-y|$$

Der Faktor

$$\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} \sqrt[n]{x}^{k} \sqrt[n]{y}^{n-1-k}}$$

wird maximal für möglichst kleine x,y also x=y=1. Dann ist

$$L=\frac{1}{\sum \limits_{k=0}^{n-1} 1}=\frac{1}{n}$$

Vielen Dank! Wie bist du aber auf den ersten Umformungsschritt gekommen?

Obwohl, vergiss die Frage. Ich habe eine andere: Woran hast du erkannt, dass der Ausdruck maximal wird für möglichst kleine x, y? Kannst du mir bitte noch diese Frage beantworten?

Ein Bruch wird groß wenn der Nenner klein wird.

Stimmt, sorry, hatte mich verguckt

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community