Lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von a

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a  ∈ℝ R die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:
2x1 + 3x2 + ax3 = 3
x1 + x2- x3 = 1
x1 + ax2 + 3x3 =2

Geben Sie dabei auch explizit an, für welche Werte des Parameters a das Gleichungssystem keine, genau
eine beziehungsweise unendlich viele Lösungen hat.

Problem/Ansatz: würde einfach mal das Lgs versuchen zu lösen wobei ich nicht genau weiß ob das der richtige weg ist um das zu Bestimmen für Hilfe wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

würde einfach mal das Lgs versuchen zu lösen

Ich auch.

wobei ich nicht genau weiß ob das der richtige weg ist um das zu Bestimmen

Es ist der richtige Weg.

Answer 2

Du kannst um die Grundsätzlichen Lösungsmengen zu untersuchen die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich Null setzen.

DET([2, 3, a; 1, 1, -1; 1, a, 3]) = a^2 + a - 6 = 0 --> a = -3 ∨ a = 2

Für a = -3 bzw. a = 2 kann es unendlich viele Lösungen bzw. keine Lösung geben.

Ich löse mal das Gleichungssystem

x + y - z = 1
x + a·y + 3·z = 2
2·x + 3·y + a·z = 3

II - I ; III - 2*I

y·(a - 1) + 4·z = 1
y + z·(a + 2) = 1

(a - 1)*II - I

z·(a - 2)·(a + 3) = a - 2 → Unendlich viele Lösungen für a = 2 ; Keine Lösung für a = -3

z = 1/(a + 3) oder z = t (Freiheitsgrad für a = 2)

Den Rest solltest du dann einfach durch einsetzen finden. PS: Eine App wie Photomath oder Wolframalpha hilft sehr gut.