Aloha :)
$$E(x|x|)=\frac{1}{1-(-1)}\int\limits_{-1}^1 x|x|\,dx=\frac{1}{2}\left[\int\limits_{-1}^0 x|x|\,dx+\int\limits_0^1 x|x|\,dx\right]$$$$=\frac{1}{2}\left[\int\limits_{-1}^0 (-x^2)\,dx+\int\limits_0^1 x^2\,dx\right]=\frac{1}{2}\left(\left[-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1\right)$$$$=\frac{1}{2}\left(0+\frac{-1}{3}+\frac{1}{3}-0\right)=0$$
