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Aufgabe:

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit dem Parameter p=0,25. Bestimmen Sie den zweiten Parameter n als möglichst kleine Zahl, sodass gilt:

a) P(X=0) < 0,05 (Lösung: 10,41?)

b) P(X < 1) < 0,1

c) P(X=n) < 0,01 (Lösung: 3,3?)

d) P(X < 2) < 0,025


Problem/Ansatz:

Ich habe bis jetzt Aufgabenteil a) und c) gelöst, komme bei b) und d) jedoch absolut nicht weiter.


Bei a) habe ich folgendes gerechnet:

P(X=0)= Nüber0 * 0,25^0 (1-0,25)^n-0

= 1 * 1 * 0,75^n

= 0,75^n

Dann hab ich den Logarithmus amgewendet (log(0,05)/log(0,75)) und kam auf 10,41. Beim Aufgabenteil b) weiß ich jedoch nicht wie ich vorgehen soll. Kann mir einer bitte den Ansatz erklären?

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(1) Da n eine natürliche Zahl sein muss, muss aufgerundet werden.

(2) Zu b): X<1 ist gleichbedeutend mit X=0.

(3) d) musst du anders lösen, das geht nicht mehr mit der Methode von a).

Kommt bei b) dann n<8 raus?

Nein, bei b) kommt n=9 raus. Es ist 1-0,25=0.75 und

0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75 = 0.100112915

und

0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75*0.75 = 0.07508468628

(Das geht mit etwas Geschick zur Not auch schriftlich. Ich glaube aber nicht, dass das ohne GTR gemacht werden soll.)

Hier mit GTR:

blob.png

binomCdf(8,0.25,0,0) = 0.100113
binomCdf(9,0.25,0,0) = 0.075085

1 Antwort

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Beste Antwort

Bei mir lauteten die Aufgaben etwas anders. Sollten vermutlich die gleichen sein.

a)
P(X = 0) ≤ 0.05
(1 - 0.25)^n ≤ 0.05
n ≥ LN(0.05)/LN(1 - 0.25) = 10.4
n ≥ 11

b)
P(X ≤ 1) ≤ 0.1
(1 - 0.25)^n + n·0.25·(1 - 0.25)^(n - 1) ≤ 0.1
Das kann leider nur numerisch gelöst werden.
n ≥ 15

c)
P(X = n) ≤ 0.01
0.25^n ≤ 0.01
n ≥ LN(0.01)/LN(0.25) = 3.3
n ≥ 4

d)
P(X ≤ 2) ≤ 0.025
(1 - 0.25)^n + n·0.25·(1 - 0.25)^(n - 1) + n·(n - 1)/2·0.25^2·(1 - 0.25)^(n - 2) ≤ 0.025
Das kann leider nur numerisch gelöst werden.
n ≥ 27
Avatar von 477 k 🚀

Wie kamst du bei b) und d) jetzt auf die Lösungen? Bei a) und c) hast du ja den Logarithmus verwendet

Bei einer numerischen Lösung kann man z.B. eine Wertetabelle verwenden. Auch können einige Taschenrechner solche Gleichungen numerisch lösen.

In meinem Buch steht, dass man keinen Taschenrechner benutzen soll. Kann man die Aufgabe nicht händisch lösen?

Du rechnest Logarithmus im Kopf? Das ist sportlich.

Man könnte wenn ihr gemacht habt eventuell zuerst über die Normalverteilung nähern.

Dann bräuchtest du aber immerhin eine Wertetabelle der Standardnormalverteilung.

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