Zeige anhand der Definition: f ist bei a differenzierbar mit f′(a) = − g′(a)/ (g(a))2

Question

Sei g : D → R differenzierbar bei a, wobei a ∈ D innerer Punkt,
sei g(x) ≠ 0 fur alle x ∈ D. Wir können dann die Funktion f : D → R mit
f(x) = $\frac{1}{g(x)}$  bilden.

Zeigen Sie anhand der Definition: f ist bei a differenzierbar mit
f'(a) = - $\frac{g'(a)}{(g(a))²}$ .

Hierbei müssen Sie in einem Schritt (unter anderem) benutzen, dass g bei a stetig

(da differenzierbar) ist. Kennzeichnen Sie diesen Schritt!

...verwenden Sie daher in dieser Aufgabe bitte nicht die Quotientenregel.

Mein Ansatz:

$\lim\limits_{x\to\ a}$  $\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}}{x-a}$  

= $\lim\limits_{x\to\ a}$  $\frac{\frac{g(a)}{g(x)*g(a)}-\frac{g(x)}{g(a)*g(x)}}{x-a}$

=  $\lim\limits_{x\to\ a}$  $\frac{\frac{g(a) - g(x)}{g(x)*g(a)}}{x-a}$

=  $\lim\limits_{x\to\ a}$  $\frac{-1 * (g(a) + g(x))}{(x-a) * g(a) * g(x)}$

=  $\lim\limits_{x\to\ a}$  $\frac{-1}{g(a) * g(x)}$        

Habe ich in einigen Schritten Fehler eingebaut?

Ab hier würde ich hier g'(a) rein multiplizieren aber wie kriege ich g(x) weg ?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige anhand der Definition: f ist bei a differenzierbar mit f′(a) = − g′(a)/ (g(a))²

Stichworte: ableitung,bruch,quotientenregel,innerer-punkt,differenzierbar

Aufgabe:

Sei g: D −→ R differenzierbar bei a, wobei a ∈ D innerer Punkt,
sei g(x) ̸= 0 für alle x ∈ D. Wir können dann die Funktion f: D −→ R mit f(x) = 1/ g(x) bilden.

Zeigen Sie anhand der Definition: f ist bei a differenzierbar mit f′(a) = − g′(a)/ (g(a))²

Hierbei müssen Sie in einem Schritt (unter anderem) benutzen, dass g bei a stetig (da differenzierbar) ist. Kennzeichnen Sie diesen Schritt! 

Vielen Dank im voraus.

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Wie genau ist die 2 am Schluss der Funktionggleichung gemeint?

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mit der 2 ist Quadrat gemeint

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Gut. Ist korrigiert.

anhand der Definition

Wie genau habt ihr das definiert?

h-Methode oder irgendwie anders?

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genau die h- Methode.

als Bemerkung wurde noch hinzugefügt, dass wir den Quotientenregel nicht anwenden sollen.

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Vom Duplikat:

Titel: Diffbarkeit von Funktionen

Stichworte: differenzierbarkeit

Hallo.

Wie löse ich diese Aufgabe?

Aufgabe $2 .$ Sei $g: D \longrightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar bei $a,$ wobei $a \in D$ innerer Punkt, sei $g(x) \neq 0$ für alle $x \in D .$ Wir können dann die Funktion $f: D \longrightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=\frac{1}{g(x)}$ bilden.
Tzeigen Sie anhand der Definition: $f$ ist bei $a$ differenzierbar mit
$$f^{\prime}(a)=-\frac{g^{\prime}(a)}{(g(a))^{2}}$$
Hierbei müssen Sie in einem Schritt (unter anderem) benutzen, dass $g$ bei $a$ stetig (da differenzierbar) ist. Kennzeichnen Sie diesen Schritt!

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Vom Duplikat:

Titel: diffbarkeit von Funktionen Aufgabe

Stichworte: analysis

Aufgabe $3 .$ Zeigen Sie mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe 2: Die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=\frac{1}{x^{n}}(\text { wobei } n \in \mathbb{N})$ ist differenzierbar mit $f^{\prime}(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}$

 Hallo. Wie löst man diese Aufgabe?

Ergebnis von Aufgabe 2:

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Ergebnis von Aufgabe 2: fehlt

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Vom Duplikat:

Titel: Diffbarkeit von Funktionen aufgabe.

Stichworte: analysis

Aufgabe $3 .$ Zeigen Sie mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe 2: Die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=\frac{1}{x^{n}}(\text { wobei } n \in \mathbb{N})$ ist differenzierbar mit $f^{\prime}(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}$
Hallo. Wie löst man diese Aufgabe?
Ergebnis von Aufgabe 2:

$\mathbf{a}$

$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{1}{h}$
$\left(\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x) \cdot g(x+h)}\right)$
$=\frac{1}{g(x) g(x+h)} \cdot \frac{g(x)-g(x+h)}{h}=$
$-\underbrace{\frac{1}{g(x) g(x+h)}}_{\rightarrow \frac{1}{g^{2}(x)}} \cdot \underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}_{\rightarrow g^{\prime}(x)}$
$\rightarrow-\frac{g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}$

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Warum könnt ihr Fragesteller euch nicht mal daran halten zusammenhängende Fragestellungen auch immer zusammen zu veröffentlichen und nicht auseinander zu pflücken.

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{1}{h}\cdot\left(\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x)\cdot g(x+h)}\right)$$$$=\frac{1}{g(x)g(x+h)}\cdot\frac{g(x)-g(x+h)}{h}=-\underbrace{\frac{1}{g(x)g(x+h)}}_{\to\frac{1}{g^2(x)}}\cdot\underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}_{\to g'(x)}$$$$\to-\frac{g'(x)}{g^2(x)}$$

Comments

ahh ich danke dir :)

Answer 2

Verwende den Beweis der Quotientenregel als Vorlage.

Übersetze das hier auf die h-Methode: https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenregel#Herleitung

Nun hast du u(x) = 1 konstant mit u'(x) = 0 und v(x) = g(x) mit g'(x) .

Alles im Link so übersetzen. Das wird dann kürzer als dort.

Comments

Achtung: Lysop hat wohl nicht die h-Methode benutzt.

Answer 3

(1/xⁿ)' = -nx^n-1/x²ⁿ = - nx^n-1-2n = -nx^-n-1 = - n/xⁿ⁺¹    laut Aufg. 2