Grenzwerte von folgen archimedisches Axiome

Question

Wie löst man das?

(a) Sei \( \left(a_{n}\right) \) eine Folge, sei \( L \in \mathbb{R} . \) Wann gilt
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=L ? $$
Formulieren Sie die \( \varepsilon \) -Definition!
(b) Wir betrachten die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) mit \( a_{n}=\frac{3 n+1}{n+3} . \) Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge.
(c) Beweisen Sie mithilfe der \( \varepsilon \) -Definition und des Archimedischen Axioms, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{H}} \) aus Teil b ) gegen den von Ihnen gefundenen Grenzwert konvergiert.

Answer 1

Aloha :)

Bei (a) soll anscheinend die Definition des Grenzwertes für die angegebene Folge aufgestellt werden:

"Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es ein \(n_0\in\mathbb{N}\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(|a_n-L|<\varepsilon\)."

Oder formal mit mathematischen Symbolen:$$\forall_{\varepsilon\in\mathbb{R^{>0}}}\;\exists_{n_0\in\mathbb{N}}\;\forall_{n\in\mathbb{N},n\ge n_0}\;\left|a_n-L\right|<\varepsilon$$

Ganz wichtig hierbei ist, dass das gesuchte \(n_0\) von \(\varepsilon\) abhängen darf !!!

Bei (b) soll der Grenzwert bestimmt werden:$$a_n=\frac{3n+1}{n+3}=\frac{3n+9-8}{n+3}=\frac{3n+9}{n+3}-\frac{8}{n+3}=3-\frac{8}{n+3}\to3$$

Bei (c) soll der bestimmte Grenzwert mit Hilfe der Definition bewiesen werden. Da wir in (b) den Term für \(a_n\) schon umgeformt haben zu \(a_n=3-\frac{8}{n+3}\) sehen wir schnell:

$$\left|a_n-3\right|=\left|3-\frac{8}{n+3}-3\right|=\frac{8}{n+3}$$Wir wählen nun ein beliebiges \(\varepsilon>0\) und suchen ein \(n_0\in\mathbb{N}\) sodass gilt$$\frac{8}{n+3}<\varepsilon\quad;\quad n\ge n_0$$Dazu formen wir den Ausdruck nach \(n\) um:

$$\frac{8}{n+3}<\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{n+3}{8}>\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;n>8\varepsilon-3$$Falls die rechte Seite \((8\varepsilon-3)<=0\) ist, wählen wir \(n_0=1\). Andernfalls gibt es nach dem Archimedischen Axiom eine eindeutig bestimmte Zahl \(\tilde n\in\mathbb{N}\), sodass \(\tilde n\le8\varepsilon-3<\tilde n+1\) gilt. In diesem Fall wählen wir \(n_0=\tilde n+1\).

Damit haben wir also für jedes \(\varepsilon>0\) das geforderte \(n_0\) gefunden.

Comments

!!!!!!!!!!!!!!

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wie löse ich diese Aufgabe nach dem von Ihnen angegebenen Schema?
aloz-de
\( \cdots \)
Dewersen STRL re Vern
be \( 1 . \) Bestimmen Sie
\( 8 \mathrm{an} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^{3}-5 n+6}{n^{3}+2 n^{2}+3 n} \)
be \( 2 . \) Untersuchen Sie \( =q^{n}, \) indem Sie beispie ellen Sie jeweils eine Vç diesem Fall auch den G

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In dem Fall kannst du den Zähler und den Nenner mit \(n^3\) kürzen:$$\frac{4n^3-5n+6}{n^3+2n^2+3n}=\frac{4-\frac{5}{n^2}+\frac{6}{n^3}}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}\to\frac{4}{1}=4$$

Answer 2

Du kannst nicht \(N>\frac2{n+3}\) wählen, sondern in Abhängigkeit von \(\varepsilon\). Außerdem ist \(\vert a_n-L\vert=\frac8{n+3}\).