Grenzwerte von folgen archimedisches Axiome

Question

Wie löst man das?

(a) Sei $\left(a_{n}\right)$ eine Folge, sei $L \in \mathbb{R} .$ Wann gilt
$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=L ?$$
Formulieren Sie die $\varepsilon$ -Definition!
(b) Wir betrachten die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}$ mit $a_{n}=\frac{3 n+1}{n+3} .$ Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge.
(c) Beweisen Sie mithilfe der $\varepsilon$ -Definition und des Archimedischen Axioms, dass die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{H}}$ aus Teil b ) gegen den von Ihnen gefundenen Grenzwert konvergiert.

Answer 1

Aloha :)

Bei (a) soll anscheinend die Definition des Grenzwertes für die angegebene Folge aufgestellt werden:

"Für alle $\varepsilon>0$ gibt es ein $n_0\in\mathbb{N}$, sodass für alle $n\ge n_0$ gilt: $|a_n-L|<\varepsilon$."

Oder formal mit mathematischen Symbolen:$$\forall_{\varepsilon\in\mathbb{R^{>0}}}\;\exists_{n_0\in\mathbb{N}}\;\forall_{n\in\mathbb{N},n\ge n_0}\;\left|a_n-L\right|<\varepsilon$$

Ganz wichtig hierbei ist, dass das gesuchte $n_0$ von $\varepsilon$ abhängen darf !!!

Bei (b) soll der Grenzwert bestimmt werden:$$a_n=\frac{3n+1}{n+3}=\frac{3n+9-8}{n+3}=\frac{3n+9}{n+3}-\frac{8}{n+3}=3-\frac{8}{n+3}\to3$$

Bei (c) soll der bestimmte Grenzwert mit Hilfe der Definition bewiesen werden. Da wir in (b) den Term für $a_n$ schon umgeformt haben zu $a_n=3-\frac{8}{n+3}$ sehen wir schnell:

$$\left|a_n-3\right|=\left|3-\frac{8}{n+3}-3\right|=\frac{8}{n+3}$$Wir wählen nun ein beliebiges $\varepsilon>0$ und suchen ein $n_0\in\mathbb{N}$ sodass gilt$$\frac{8}{n+3}<\varepsilon\quad;\quad n\ge n_0$$Dazu formen wir den Ausdruck nach $n$ um:

$$\frac{8}{n+3}<\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{n+3}{8}>\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;n>8\varepsilon-3$$Falls die rechte Seite $(8\varepsilon-3)<=0$ ist, wählen wir $n_0=1$. Andernfalls gibt es nach dem Archimedischen Axiom eine eindeutig bestimmte Zahl $\tilde n\in\mathbb{N}$, sodass $\tilde n\le8\varepsilon-3<\tilde n+1$ gilt. In diesem Fall wählen wir $n_0=\tilde n+1$.

Damit haben wir also für jedes $\varepsilon>0$ das geforderte $n_0$ gefunden.

Comments

!!!!!!!!!!!!!!

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wie löse ich diese Aufgabe nach dem von Ihnen angegebenen Schema?
aloz-de
$\cdots$
Dewersen STRL re Vern
be $1 .$ Bestimmen Sie
$8 \mathrm{an}$
$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^{3}-5 n+6}{n^{3}+2 n^{2}+3 n}$
be $2 .$ Untersuchen Sie $=q^{n},$ indem Sie beispie ellen Sie jeweils eine Vç diesem Fall auch den G

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In dem Fall kannst du den Zähler und den Nenner mit $n^3$ kürzen:$$\frac{4n^3-5n+6}{n^3+2n^2+3n}=\frac{4-\frac{5}{n^2}+\frac{6}{n^3}}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}\to\frac{4}{1}=4$$

Answer 2

Du kannst nicht $N>\frac2{n+3}$ wählen, sondern in Abhängigkeit von $\varepsilon$. Außerdem ist $\vert a_n-L\vert=\frac8{n+3}$.