Aloha :)
Bei (a) soll anscheinend die Definition des Grenzwertes für die angegebene Folge aufgestellt werden:
"Für alle ε>0 gibt es ein n0∈N, sodass für alle n≥n0 gilt: ∣an−L∣<ε."
Oder formal mit mathematischen Symbolen:∀ε∈R>0∃n0∈N∀n∈N,n≥n0∣an−L∣<ε
Ganz wichtig hierbei ist, dass das gesuchte n0 von ε abhängen darf !!!
Bei (b) soll der Grenzwert bestimmt werden:an=n+33n+1=n+33n+9−8=n+33n+9−n+38=3−n+38→3
Bei (c) soll der bestimmte Grenzwert mit Hilfe der Definition bewiesen werden. Da wir in (b) den Term für an schon umgeformt haben zu an=3−n+38 sehen wir schnell:
∣an−3∣=∣∣∣∣∣3−n+38−3∣∣∣∣∣=n+38Wir wählen nun ein beliebiges ε>0 und suchen ein n0∈N sodass giltn+38<ε;n≥n0Dazu formen wir den Ausdruck nach n um:
n+38<ε⇔8n+3>ε⇔n>8ε−3Falls die rechte Seite (8ε−3)<=0 ist, wählen wir n0=1. Andernfalls gibt es nach dem Archimedischen Axiom eine eindeutig bestimmte Zahl n~∈N, sodass n~≤8ε−3<n~+1 gilt. In diesem Fall wählen wir n0=n~+1.
Damit haben wir also für jedes ε>0 das geforderte n0 gefunden.