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Wie löst man das?


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(a) Sei (an) \left(a_{n}\right) eine Folge, sei LR. L \in \mathbb{R} . Wann gilt
limnan=L? \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=L ?
Formulieren Sie die ε \varepsilon -Definition!
(b) Wir betrachten die Folge (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} mit an=3n+1n+3. a_{n}=\frac{3 n+1}{n+3} . Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge.
(c) Beweisen Sie mithilfe der ε \varepsilon -Definition und des Archimedischen Axioms, dass die Folge (an)nH \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{H}} aus Teil b ) gegen den von Ihnen gefundenen Grenzwert konvergiert.

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Aloha :)

Bei (a) soll anscheinend die Definition des Grenzwertes für die angegebene Folge aufgestellt werden:

"Für alle ε>0\varepsilon>0 gibt es ein n0Nn_0\in\mathbb{N}, sodass für alle nn0n\ge n_0 gilt: anL<ε|a_n-L|<\varepsilon."

Oder formal mit mathematischen Symbolen:εR>0  n0N  nN,nn0  anL<ε\forall_{\varepsilon\in\mathbb{R^{>0}}}\;\exists_{n_0\in\mathbb{N}}\;\forall_{n\in\mathbb{N},n\ge n_0}\;\left|a_n-L\right|<\varepsilon

Ganz wichtig hierbei ist, dass das gesuchte n0n_0 von ε\varepsilon abhängen darf !!!

Bei (b) soll der Grenzwert bestimmt werden:an=3n+1n+3=3n+98n+3=3n+9n+38n+3=38n+33a_n=\frac{3n+1}{n+3}=\frac{3n+9-8}{n+3}=\frac{3n+9}{n+3}-\frac{8}{n+3}=3-\frac{8}{n+3}\to3

Bei (c) soll der bestimmte Grenzwert mit Hilfe der Definition bewiesen werden. Da wir in (b) den Term für ana_n schon umgeformt haben zu an=38n+3a_n=3-\frac{8}{n+3} sehen wir schnell:

an3=38n+33=8n+3\left|a_n-3\right|=\left|3-\frac{8}{n+3}-3\right|=\frac{8}{n+3}Wir wählen nun ein beliebiges ε>0\varepsilon>0 und suchen ein n0Nn_0\in\mathbb{N} sodass gilt8n+3<ε;nn0\frac{8}{n+3}<\varepsilon\quad;\quad n\ge n_0Dazu formen wir den Ausdruck nach nn um:

8n+3<ε        n+38>ε        n>8ε3\frac{8}{n+3}<\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{n+3}{8}>\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;n>8\varepsilon-3Falls die rechte Seite (8ε3)<=0(8\varepsilon-3)<=0 ist, wählen wir n0=1n_0=1. Andernfalls gibt es nach dem Archimedischen Axiom eine eindeutig bestimmte Zahl n~N\tilde n\in\mathbb{N}, sodass n~8ε3<n~+1\tilde n\le8\varepsilon-3<\tilde n+1 gilt. In diesem Fall wählen wir n0=n~+1n_0=\tilde n+1.

Damit haben wir also für jedes ε>0\varepsilon>0 das geforderte n0n_0 gefunden.

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!!!!!!!!!!!!!!

wie löse ich diese Aufgabe nach dem von Ihnen angegebenen Schema?
aloz-de
\cdots
Dewersen STRL re Vern
be 1. 1 . Bestimmen Sie
8an 8 \mathrm{an}
limn4n35n+6n3+2n2+3n \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^{3}-5 n+6}{n^{3}+2 n^{2}+3 n}
be 2. 2 . Untersuchen Sie =qn, =q^{n}, indem Sie beispie ellen Sie jeweils eine Vç diesem Fall auch den G

In dem Fall kannst du den Zähler und den Nenner mit n3n^3 kürzen:4n35n+6n3+2n2+3n=45n2+6n31+2n+3n241=4\frac{4n^3-5n+6}{n^3+2n^2+3n}=\frac{4-\frac{5}{n^2}+\frac{6}{n^3}}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}\to\frac{4}{1}=4

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Du kannst nicht N>2n+3N>\frac2{n+3} wählen, sondern in Abhängigkeit von ε\varepsilon. Außerdem ist anL=8n+3\vert a_n-L\vert=\frac8{n+3}.

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