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Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe:

Die Flughöhe eines Heißluftballons wird durch die Funktion h(t) = \( \frac{1}{3} \) t³ - 2t² +3t, 0≤t≤30 beschrieben (t in Stunden, H in km).

a) Welchen mittleren Höhengewinn erzielt der Ballon in der ersten Flugstunde?

m = \( \frac{dy}{dx} \) = \( \frac{h(1) - h(0)}{1-0} \) = \( \frac{4/3}{1} \)
m ≈ 1.33 \( \frac{km}{h} \)
Der mittlere Höhengewinn in der ersten Flugstunde beträgt ca. 1.33 \( \frac{km}{h} \).

b) Welche Maximalhöhe erreicht der Ballon?

notw. Krit: h'(t) = 0
t² - 4t + 3 = 0
pq-Formel anwenden → t1=3, t2=1
hinr. Krit: h'(t) = 0 und h''(t) ≠ 0
h''(t) = 2t - 4
h''(3) = 2 > 0 → TP
h''(1) = -2 < 0 → HP(1 / h(1)) → HP(1 / \( \frac{4}{3} \) )
Die Maximalhöhe beträgt ca. 1.33 km.

c) Wie groß ist die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit des Ballons bei Start und Landung?


Start: m = h'(0) = 3 \( \frac{km}{h} \)
Landung: h(t) = 0 → t1=0, t2/3=3, m = h'(3) = 0 \( \frac{km}{h} \)
Bei Start beträgt sie 3 \( \frac{km}{h} \), bei Landung 0 \( \frac{km}{h} \).


d) Wann sinkt der Ballon am schnellsten? In welcher Höhe geschieht dies?


notw. Krit: h''(t) = 0
2t - 4 = 0
2t = 4
t = 2
Bei t = 2 Stunden sinkt der Ballon am schnellsten.
h(2) = \( \frac{2}{3} \) km
Dies geschieht in ca. 0.67 km bzw. 666,67 m Höhe.


e) Wann steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 \( \frac{m}{min} \)?


21 \( \frac{m}{min} \) = 1,26 \( \frac{km}{h} \)

h'(t) = 1,26

t² - 4t + 3 = 1,26
t² - 4t + 1,74 = 0
pq Formel anwenden → t1 ≈ 3,5, t2 ≈ 0,5
Nach ca. einer halben Stunde und nach ca. dreieinhalb Stunden steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 \( \frac{m}{min} \).

Passt das alles so?

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1 Antwort

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Hallo Emre,

das sieht alles gut aus, außer:

1/3·t- 2t+ 3t ,  0 ≤ t ≤ 30    (t in Stunden, h in km).
b) Welche Maximalhöhe erreicht der Ballon?

Hier liegt wohl ein Tippfehler vor.  Es soll wohl 0 ≤ t ≤ 3  lauten.

Denn wegen h(3) = 0 landet der Ballon nach 3 Stunden. Danach würde er wieder aufsteigen und die absolut unrealistische Maximalhöhe  hmax = h( 30) = 7290 km erreichen.
----------------
Mit  der ersten Ableitung  kannst du erst einmal nur lokale Extremstellen finden. Für die absoluten Extrema sollte man die Randbetrachtung nicht vergessen.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀
Nach ca. einer halben Stunde und nach ca. dreieinhalb Stunden steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 m/min

Da der Definitionsbereich nur im Bereich von 0 bis 3 Sinn macht ist dieses natürlich auch nicht korrekt. Es sollte folglich nur

Nach ca. einer halben Stunde steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 m/min.

lauten.

Vielen Dank!

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