Maximale Volumen eines Quaders mit einer quadratischen Grundfläche

Question

Aufgabe:

Nehmen sie ein Draht, der zwischen ca. 30cm und 50cm lang ist. Untersuchen sie, wie lange die Kanten zu wählen sind, damit der Quader das Maximale Volumen hat.

Problem/Ansatz:

HB: a^2* h

NB: 8a+ 4h= 50 I -8a

      4h=50-8a I :4

       h=12,5-2a

V(a) = a^2 *( 12,5-2a)

          12,5a^2 - 2a^3

V´(a) = a^2 (12,5 -2a) = 0

           12,5 -2a= 0 I +2a

            12,5= 2a I :2

            6,25= a

In die NB: h= 12,5 - 2* 6,25 = 0

was mache ich falsch?

Answer 1

V(a) = a^2 *( 12,5-2a)
Du hast vergessen abzuleiten
V(a) = 12.5 * a^2  - 2a^3
V ´( a ) = 25 * a - 6a^2
25 * a - 6a^2 = 0
a * ( 25 - 6a ) = 0

Satz vom Nullprodukt anwenden
a = 0
25 - 6a = 0
6a = 25
a = 25/6
h = 12,5-2a

Comments

Stimmt hab es vergessen

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hab a= 4,16 und h= 4,18 ist das richtig?

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a = 4.1667
h = 4.1667

Mach die Probe
Wenn du deine Werte einsetzt
kommt 51.89 heraus

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hab genau 50

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hab a= 4,16 und h= 3,93 ist das richtig?

Beachte, dass die genaue Drahtlänge nicht gegeben war. Die Wahrscheinlichkeit das der Draht damit exakt gleich 50 cm ist ist nahezu ausgeschlossen. In der Rechnung hätte ich die Drahtlänge L als Unbekannte stehen gelassen.

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hab a= 4,16 und h= 4,18 ist das richtig?
Sag einmal : hast du deinen ursprünglichen
Wert
hab a= 4,16 und h = 3.93
nachträglich geändert ?
@ coach der Fragesteller hat geschummelt.

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Ja hab es geändert weil 3,93 falsch ist, richtig wäre 4,18

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Ja hab es geändert weil 3,93 falsch ist, richtig wäre 4,18

Näherungsweise ist 4.18 richtig. So geht dir aber z.B. verloren, dass in der exakten Lösung a = h gilt. Das ist bei dir auch nur näherungsweise der Fall.

Daher ist es ungünstig hier mit gerundeten Werten zu rechnen.

Answer 2

Da die Drahtlänge ca. zwischen 30 und 50 cm liegt würde ich ich sie einfach als Unbekannte L in der kompletten Rechnung stehen lassen.

NB:

L = 8·a + 4·h --> h = 1/4·L - 2·a

HB:

V = a^2·h = a^2·(1/4·L - 2·a) = 1/4·a^2·L - 2·a^3

V' = 1/2·a·L - 6·a^2 = 0 --> a = 1/12·L

h = 1/4·L - 2·(1/12·L) = 1/12·L

Damit ist der Quader ein Würfel dessen Kantenlänge 1/12 der Drahtlänge entspricht.

Comments

Ist das falsch was ich gemacht hab?

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Du hast es für eine ganz genaue Drahtlänge von 50 cm berechnet und das auch unter Rundung der Endergebnisse.

Runden kann man meiner Meinung nach durchaus in Anwendungsaufgaben. Obwohl es Mathematisch nicht angebracht ist. Du solltest also einen Bruch ebenso als Lösung stehenlassen. Und damit dann auch weiterrechnen.

Dann würde dir nicht entgehen das die Höhe genau so lang ist wie die Grundkantenlänge.

Noch besser ist es wenn du eben nicht mit einer exakten Drahtlänge rechnest wenn diese nicht exakt bekannt ist. Was ist wenn der Draht nun in Wirklichkeit nur 30 cm lang war?

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1/2·a·L - 6·a2 = 0 → a = 1/12·L 

wie haben sie das gelöst

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1/2·a·L - 6·a^2 = 0

a·(1/2·L - 6·a) = 0 

Satz vom Nullprodukt

a = 0 → Nicht im Definitionsbereich

1/2·L - 6·a = 0
1/2·L = 6·a
1/12·L = a → a = 1/12·L

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Ah, jetzt hab ich es verstanden, danke.