Algebra, Vektorräume. Zeige ℝ² wird zu einem Vektorraum über ℂ durch Hinzufügen von (a+bi)*(x1,x2):=(ax1-bx2,ax2+bx1)

Question

Gegeben sei der ℝ² mit der üblichen Addition

(x1,x2)+(y1,y2) := (x1+y1,x2+y2)

 

Zeige: der ℝ² wird zu einem Vektorraum über ℂ, wenn man zu dieser Addition die Skalarmultiplikation

(a+bi)*(x1,x2):=(ax1-bx2,ax2+bx1)

 

a.b.x1,x2 elemente R, hinzufügt.

Answer 1

Da die Standardaddition unangetastet bleibt, ist der entstehende Körper weiterhin eine abelsche Gruppe. Zu zeigen ist also:

 

i) Für z, w∈ℂ und v∈ℝ² gilt: z*(w*v) = (z*w)*v

ii) Für z∈ℂ und v, w∈ℝ² gilt: z*(v+w) = z*v+z*w

iii) Für z, w ∈ℂ und v∈ℝ² gilt: (z+w)*v = z*v+w*v

iv) 1*v = v

In allen vier Punkten wähle ich für Elemente x aus ℂ die Schreibweise x = a+ib (mit fortlaufenden Buchstaben des Alphabets) und für Elemente aus ℝ² die Schreibweise x = (x₁, x₂)

 

iv) ist sehr einfach, das Einselement aus ℂ ist 1+0i:

Damit folgt: (1+0i)*(v₁, v₂)=(v₁-0*v₂, v₂+0*v₁) = (v₁,v₂) = v

 

i) (a+ib)*((c+id)*(v₁, v₂)) = (a+ib)*(cv₁-dv₂, cv₂+dv₁) = (acv₁-adv₂-bcv₂-bdv₁, acv₂+adv₁ + bcv₁-bdv₂)

= ((ac-bd)v₁-(ad+bc)v₂, (ad+bc)v₁+(ac-bd)v₂) = ((ac-bd)+(ad+bc)i) * (v₁,v₂) = ((a+bi)*(c+di))*(v₁,v₂) = (z*w)*v

 

ii) (a+bi)*((v₁,v₂)+(w₁,w₂)) = (a+bi)*(v₁+w₁, v₂+w₂) = (av₁+aw₁-bv₂-bw₂, bv₁+bw₁+av₂+aw₂)

= (av₁-bv₂, bv₁+av₂) + (aw₁-bw₂, bw₁+aw₂) = (a+bi)*v + (a+bi)*w = z*v+z*w

 

iii) ((a+bi)+(c+di))*(v₁,v₂) = ((a+c)+i(b+d))*(v₁,v₂) = ((a+c)v₁-(b+d)v₂, (b+d)v₁ + (a+c)v₂) = (av₁-bv₂, bv₁+av₂)+(cv₁-dv₂, dv₁+cv₂) = (a+ib)*(v₁,v₂) + (c+id)*(v₁,v₂)

 

Also handelt es sich um einen ℂ-Vektorraum.