0 Daumen
252 Aufrufe

Hallo,

Bei dieser Aufgabe(i) geht's darum, zu zeigen, dass aus Verknüpfung von zwei K-Vektorräumen zu einem neuen K-Vektorraum wird.

Zeigen Sie: (i) Sind V und W zwei K-Vektorräume so wird durch die Verknüpfungen (a,b) + (a',b') = (a+b) + (a'+b'). T(a,b) = Ta +Tb für a,a' € V , b,b' € W und T€ K.

Ich habe mir schon Gedanken dazu gemacht, dass ich erst mal beweisen soll, dass man aus zwei K-Vektorräumen eine kommutative Gruppe bilden kann. Und so ist die kommutative Gruppe der neue K-Vektorraum. BIN ICH SO AUF DEM RICHTIGEN WEG?


Und bei (ii) muss man Basen beweisen.

Ich habe aber keine Ahnung, WIE??


(ii) Sind ai € V für i€ I und bj € W für j€J Basen, so ist (( ai, 0 ) i€ I) ∪ (( 0,b ) j€J) eine Basis von V x W.

Würde mich freuen, wenn mir jamand helfen könnte.

Dankeschön mal im Voraus.

von

1 Antwort

0 Daumen

Du musst die Vektorraumaxiome alle prüfen für die in der Aufgabe

definierten Verknüpfungen auf der Menge VxW durch Rückführung auf die Einzelräume.

Etwa Assoziativität von + so:

Seien  (a1,b1) , (a2,b2) , (a3,b3) aus VxW. Dann gilt

( (a1,b1) + (a2,b2) )  + (a3,b3)   nach Def. von +

[ Die hast du wohl falsch zitiert, heißt vermutlich

(a,b) + (a',b') = (a+a'  , b+b')  ]

=  (a1+a2,b1+b2 )  + (a3,b3)

[  und darauf wieder die Def. anwenden mit a1+a2 für a

und b1+b2 für b und  a3 bzw b3 für a' bzw b'  gibt ]

= ((a1+a2) + a3,  (b1+b2)+b3 )

wegen Assoziativität in V und W ist das

= (a1+(a2 + a3),  b1+(b2+b3 ) )

und jetzt die Def. von + rückwärts anwenden

=(a1,b1) + (a2 + a3, b2+b3 )

und nochmal gibt

 (a1,b1) + ( (a2,b2)   + (a3,b3) ).  q.e.d.

Und in der Art musst du dich durch die ganzen VR-Axiome

hangeln. Ein Haufen Schreibarbeit !

von 172 k

Erstmal vielen vielen Dank für deine Antwort.


Ich habe jetzt so verstanden, dass ich noch die Kommutativität, neutrales, Inverses, mal bezüglich ,,+" und mal bezüglich ,, . " zeigen muss. Stimmt's ??

So ist es .  Alle Axiome halt, auch distributiv und  1*v=v .

Ich habe es versucht, kriege es aber mit den neutralen und inversen Elemente bezüg. ,,+'' nicht hin.


Wäre sehr sehr nett, wenn du mir erklärst, wie das geht...

V und W sind Vektorräume, also gibt es in V einen

0-Vektor und auch in W einen.

Dann ist ( 0, 0 ) der Nullvektor von VxW denn

sein (v,w) ∈ VxW , dann ist

(v,w) + (0,0) = ( v+0, w+0) = (v,w).

Entsprechend ist

( -v, -w) das additive Inverse zu ( v,w).

Vielen vielen Dank

Hi, wie sieht es mit der ii) aus ? Es kommt mir simpel vor. Da es ja daraus folgt dass es Basen aus V und W sind allerdings bin ich mir nicht sicher wie ich das korrekt zeigen soll.

Du musst zeigen, dass

a) jedes El. aus VxW damit dargestellt werden kann und

b) dass  (( ai, 0 ) i€ I) ∪ (( 0,b ) j€J) linear unabhängig ist.

zu a) Idee:  Sei (v,w) ∈ VxW

dann gibt es xi und yj aus K mit

∑ xivi = v und ∑ yjwj = w also

∑ xi*(vi,0) + ∑ yj(0.wj) = (v,w)

zu b) sei  ∑ xi*(vi,0) + ∑ yj(0.wj) = (0,0)

==>    ∑ xi*(vi,0) = (0,0) und ∑ yj(0.wj) = (0,0)

weil in der 1. Summe alle 2. Komponenten

und in der 2. alle 1. Komponenten 0 sind.

Also ∑ xivi =  und ∑ yjwj = 0 und damit

alle xi und yj gleich 0, weil die vi und die wj

je eine Basis von V bzw. W bilden.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...