Eine vollständige Funktionsuntersuchung nach dem Zehn -Punkte-Schema: f:x → 2x^2 * e^{-x}

Question

Könnte mir bitte jemand zeigen wie ich dies vollständige Funktionsüberprüfung mache?

Zehn-Punkte-Schema:

1.) Bestimmung der maximalen Definitionsmenge.

2.) Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte. Bestimmung der Asymptoten / ganzrationalen Näherungsfunktionen.

3.) Bestimmung der Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie), zum Ursprung (Punktsymmetrie) und andere mögliche Symmetrien.

4.) Bestimmung der Nullstellen und deren Art (mit / ohne VZW).

5.) Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse.

6.) Bestimmung der 1., 2. und eventuell 3. Ableitung.

7.) Bestimmung der Extrempunkte.

8.) Bestimmung der Wendepunkte.

9.) Erstellung einer Wertetabelle.

10.) Zeichen des Graphen der Funktion.

Das alles für die folgende Funktion: f:x → 2x^2 * e^{-x}

Ich würde mich über eine ausführliche Antwort freuen. Danke.

Comments

Anfang: vgl. https://www.mathelounge.de/67788/vollstandige-funktionsuntersuchung-f-x-→-2x-2-e-x

Answer 1

 f = 2x² * e^-x

1.) Bestimmung der maximalen Definitionsmenge.
     Es sind keine Einschränkungen vorhanden, daher D = ℝ ( Menge aller Reellen Zahlen )

2.) Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte. Bestimmung der Asymptoten / ganzrationalen Näherungsfunktionen.

  lim x -> -∞ [  2x² * e^-x ] : 2x^2 geht gegen unendlich; e^-x ebenfalls unendlich : Produkt auch unendlich
  lim x -> ∞ [  2x² * e^-x ] : 2x^2 geht gegen unendlich; e^-x geht gegen null : Produkt geht gegen null

  Asymptote müßte y = 0 sein ( nach plus unendlich )

3.) Bestimmung der Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie), zum Ursprung (Punktsymmetrie) und andere mögliche Symmetrien. Symmetrie wird mit mm geschrieben. Keine Symmetrien vorhanden. siehe deine spätere Skizze.
 
4.) Bestimmung der Nullstellen und deren Art (mit / ohne VZW).
     f(x) = 0
     2*x^2 = 0
      x = 0
      f(0)=0 Ein Vorzeichenwechsel findet nicht statt. ( Berührpunkt )
      Punkt ( 0 l 0 )

5.) Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse.
     bei Punkt ( 0 l 0 )

6.) Bestimmung der 1., 2. und eventuell 3. Ableitung.

      f ( x ) = 2*x² * e^-x
      f ´( x ) = 2*2*x *  e^-x + 2*x^2 *  e^-x * ( -1 )
      f ´( x ) = 4*x *  e^-x - 2*x^2 *  e^-x
      f ´( x ) =  e^-x * ( 4*x  - 2*x^2 )

      f ´´( x ) =  e^-x * ( 4 - 8*x  + 2*x^2 )
      f ´´´( x ) =  e^-x * ( 12x - 12  - 2*x^2 )

7.) Bestimmung der Extrempunkte.
      f ´( x ) =  e^-x * ( 4*x  - 2*x^2 ) = 0
       4*x  - 2*x^2  = 0
       x * ( 4  - 2*x ) = 0
       x = 0
      E ( 0 l 0 )

      4 - 2x = 0
      2x = 4
      x = 2
      f(2) = 2*2x² * e^-2 = 8/E^2
      E ( 2 l 8/E^2 )

8.) Bestimmung der Wendepunkte.

       f ´´( x ) =  e^-x * ( 4 - 8*x  + 2*x^2 ) = 0
      4 - 8*x  + 2*x^2  = 0

9.) Erstellung einer Wertetabelle.

10.) Zeichen des Graphen der Funktion.

  So. Keine Lust mehr

  mfg Georg
 

Comments

Ich mach noch einen Graphen

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ich mache gerade die gleiche Aufgabe.

Was ich nicht verstehe ist: Wieso ist die Asymptote die positive y-Achse. Der Graph berührt doch die

y-Achse in in 0/0

Kann jemand bitte es mir erklären?

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Keiner hat gesagt das die Asymptote die positive y-Achse ist.

" Asymptote müßte y = 0 sein ( nach plus unendlich )"

Das sagt das die x-Achse die Asymptote ist. Das ist auch richtig, wie man grafisch erkennen kann.

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Ja, aber die x Achse wird doch auch in der 0/0 berührt.....

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Ok es zählt also nur der unendliche "Wert" . Und dieser berührt die x Achse wirklich nicht. Das sieht man deutlich.

Vielen Dankt!!!!

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Eine Asymptote ist eine Funktion an die sich die Orginalfunktion
anschmiegt.
Die Asymtote kann sich zuvor durchaus auch einmal mit der
Funktion geschnitten haben.