Zeigen Sie, dass (V, +, *) ein K-Vektorraum ist

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und sei \( V=K^{n} \) das \( n \) -fache Kartesische Produkt von \( K . \) Wir schreiben die Elemente von \( V \) als Spalten:

\( \left(\begin{array}{c} {x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}} \end{array}\right) \)

wobei \( x_{i} \in K . \) Wir definieren \( +: V \times V \rightarrow V \) durch

\( \left(\begin{array}{c} {x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {y_{1}} \\ {\vdots} \\ {y_{n}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {x_{1}+y_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}+y_{n}} \end{array}\right) \)

und \( \cdots K \times V \rightarrow V \) durch

\( x \cdot\left(\begin{array}{c} {x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {x x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x x_{n}} \end{array}\right) \)

Zeigen Sie, dass \( (V,+, \cdot) \) ein \( K \) -Vektorraum ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand beim Beweisen helfen, damit habe ich momentan generell noch so einige Schwierigkeiten:

Als Ansätze habe ich nur:

Sei (V, +, *) ein K-Vektorraum

- (V, +) ist eine kommutative Gruppe
- für alle x,y € K und v € V gilt: (xy)*v = x*(yv)
- für alle v € V gilt 1k*v=v
- für alle x € K und v1, v2 € V gilt: x*(v1+v2) = xv1+xv2
- für alle x,y € K und v € V gilt: (x+y)*v = xv+yv

Vom Verständnis her zwar klar, Assoziativität, Kommutativität, Distributivität etc. Nur wie ich es verschriftlichen soll... keine Ahnung.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Körperaxiome und Vektorräume. Beweise, dass ( K^n, +, *) ein Vektorraum ist

Stichworte: k-vektorraum,vektorraum,körperaxiome,lineare-algebra

Sei K ein beliebiger Körper. Beweise aus den Körperaxiomen, dass ( Kⁿ, +, *) ein Vektorraum ist, wo Addition und Skalarmulitiplikation durch

 

(x1,x2,....xn )+(y1,y2.......,yn) := (x1+y1,x2+y2,....., xn+yn) bzw λ(x1,x2,....xn):= ( λx1,λx2,...λxn) gegeben sind.

 

K-Vektorraum

Answer 1

Gemäss Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition musst du 3 Dinge überprüfen

1. für die Skalarfaktoren gilt Assoziativität der Mult.

2. 2 Arten von Distributivität 

3. Neutralität der 1

 

Ich verwende hier:

Grossbuchstaben für Elemente von K. Also L statt Lambda

kleine Buchstaben für Vektoren.

v1, v2, vi… für die Komponenten des Vektors v sind auch Elemente von K.

 

Nach Voraussetzung gibt es in K eine Multiplikation und eine Addition, für die die Körperaxiome gelten.

Wenn du die nummerierst, kannst du Schritt für Schritt mit Nummern angeben, was du genau benutzt.

 

Behauptung 1. für die Skalarfaktoren gilt Assoziativität der Mult.

Begründung: In jedem Körper gilt für die Mult. die Assoziativität  L (M N) = ( L M) N

 

2. 2 Arten von Distributivität

2. a) L (u + v) = L u + L v

Vektoren sind gleich, wenn sie Komponentenweise gleich sind.

Wir prüfen

L(ui + vi) = L ui + L vi      für alle i.        wegen Distr. in K ok

(Linksdistr. ist in den Axiomen gefordert)

2. b) (L+M)  u = L u + M u

Wir prüfen

(L+M) ui  = L ui + M ui      für alle i.     wegen Distr. in K ok

Rechtsdistr. in K folgt aus den Körperaxiomen. Herleitung vlg. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Körperaxiome#Allgemeine_Definition

3. Neutralität der 1 

Wir prüfen 1 v = v

Komponentenweise sollte 1 vi = vi

Gilt, da 1 in K das neutrale Element ist.