Komplexe Zahlen: R parallel L - Berechnung des Betrages Z

Question

Aufgabe: Z= R*jwL/(R+jwL)

den Zähler und Nenner mit (R-jwL) erweitern!

Problem/Ansatz: w²L²R/ (R²+w²L²)+ wLR²/(R²+w²L²) = Z

wie kommt man zu dieser Lösung? bitte die einzelnen Schritte aufzeigen! Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Bei Parallelschaltung addieren sich die Kehrwerte der Widerstände, hier also:$$\frac{1}{Z}=\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}=\frac{1}{R}+\frac{-j^2}{j\omega L}=\frac{1}{R}+j\frac{-1}{\omega L}$$Damit gilt für den Betrag:

$$\left|\frac{1}{Z}\right|^2=\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{-1}{\omega L}\right)^2=\frac{1}{R^2}+\frac{1}{(\omega L)^2}=\frac{(\omega L)^2+R^2}{R^2\cdot(\omega L)^2}$$$$|Z|=\frac{\omega L\cdot R}{\sqrt{(\omega L)^2+R^2}}$$

Answer 2

Hallo

1. Parallelschaltung: 1/Rges=1/R1+1/R2 =(R1+R2)/(R1*R2)

also Rges=(R1*R2)/(R1+R2)

hier R1=R , R2=iwL

also Rges=Z=R*iwL/(R+iwL)

jetzt ist bekannt wenn man eine Komplexe Zahl a+ib mit ihrer konjugiert komplexen  a-ib multipliziert kommt a^2-i^2*b=a^2+b^2 raus also das Quadrat des Betrages.

deshalb erweitert man den Bruch mit R-iwL dann hat man Z=R*iwL*(R-iwL)/(R^2+w^2L^2)

jetzt den Zähler ausmultipliziern ergibt i*R^2wL-i^2Rw^2L^2= +Rw^2L^2+i*R^2wL

darunter jeweils den Nenner ergibt dein Z nur hast du ein i beim zweiten Summanden  vergessen.

Gruß lul

Answer 3

\( \frac{R·iwL}{R+iwL} \)  =\( \frac{R·iwL(R-iwL)}{(R+iwL)(R-iwL)} \)=\( \frac{R^{2}·iwL+(wL)^2}{R^2+(wL)^2} \). Bedenke i²= - 1.