Ebene: Koordinatengleichung zu Parameterform

Question

Aufgabe:

E1: 2x-3y + 4z = -5

Problem/Ansatz:

Also ich bin so vorgegangen: Ich habe alle drei Spurpunkte berehcnet und dann -> Sx + s*SySx + r*SzSx ->

(-5/2/0/0) + s((5/2) / 5/3 / 0) r( 5/2 / 0 / 4/5) wäre dann die Paramterform von mir...

In den Lösungen haben die irgendwie einen anderen Lösungsweg gewählt und wenn ich die gleichen Skalare einfüge, zeigt es mir ne andere Lösung..

Lösung:

$\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {-\frac{1}{2}}\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {\frac{3}{4}}\end{array}\right) \operatorname{mit} \lambda, \mu \in \mathbb{R}$

 Was mache ich falsch?

Answer 1

$\vec{S_zS_x} = \begin{pmatrix} -\frac{5}{2}\\0\\\frac{5}{4} \end{pmatrix}$.

Damit bekommst du dann zwar eine andere Parameterdarstellung als in der Lösung. Aber es gibt ja mehrere Parameterdarstellungen, die die gleiche Ebene beschreiben.

Comments

Wenn ich die Skalare gleich wähle, müssten doch die gleiche Punkte dabei rauskommen? Oder irre ich mich da.

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Wieso sollte das so sein?

$E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$

$E_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix}$

$E_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$

Alle drei Ebenen sind offensichtlich identisch (es handelt sich um die $x_1x_2$-Ebene). Aber bei $E_2$ sind die Richtungsvektoren doppelt so lang wie bei $E_1$ und bei $E_3$ ist der Aufpunkt ein anderer als bei $E_1$.

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Ich habe alle drei Spurpunkte berehcnet

Das hat in diesem Fall funktioniert, weil die Ebene drei Spurpunkte hat. Nicht jede Ebene hat drei Spurpunkte. Zum Beispiel hat die Ebene

        2x - 3y  = -5

nur zwei Spurpunkte und die Ebene

        4z = -5

sogar nur einen. In diesen Fällen kommst du zur Parameterdarstellung indem du drei andere Punkte der Ebene berechnest, die nicht auf einer Geraden liegen.

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Wenn ich die Skalare gleich wähle, müssten doch die gleiche Punkte dabei rauskommen? Oder irre ich mich da.

Ja - Du irrst Dich da gewaltig. Schau Dir folgende Szene an (klick auf das Bild):

die grüne Ebene ist die Ebene, um die es hier geht. Das schwarze Vektorenpaar ist die Lösung, die Dir gegeben wurde. Das rote Vektorenpaar ist Deine Lösung.

Beide Vektorenpaare spannen die identische Ebene auf und es sind noch beliebig viele weitere unterschiedliche Paare mit unterschiedlichen Stützpunkten denkbar. Nimm einen beliebigen Punkt in der Ebene und zwei beliebige nicht kolineare Vektoren aus der Ebene und Du hast eine neue Lösung.

Answer 2

Aloha :)

Deine Ebenengleichung passt nicht. Die z-Komponente vom 2-ten Richtungsvektor muss nicht $\frac{4}{5}$, sondern $-\frac{5}{4}$ lauten. Es gibt im Allgemeinen unendlich viele Darstellungen einer Ebene in der Parameterform. Daher kann deine Lösung von der in der Musterlösung abweichen.