Wie Nullstellen auf x-Achse ablesen bei f(x)= -1/2 (x-3)(x+4)?

Question

Aufgabe: f(x)= -1/2 (x-3)(x+4)

Ermittle die Schnittstellen sowie den Scheitelpunkt der Parabel!

f(x)= 0

x-3 = 0

x+4 = 0

Als Lösung wurde mir x1= 3 und x2= -4 genannt:

Scheitelpunkt der Parabel S(y) = 6

Wieso die umgekehrten Vorzeichen?. Hängt dies mit dem Faktor -1/2 zusammen?

Answer 1

Aloha :)

Die \(x\)-Achse wird ja an den Stellen geschnitten, bei denen \(f(x)=0\) gilt. \((x-3)\) wird \(0\), wenn \(x=3\) ist, und \((x+4)\) wird \(0\), wenn \(x=-4\) ist. Daher "wechselt" quasi das Vorzeichen.

Answer 2

Als Lösung wurde mir x₁= 3 und x₂= -4 genannt.Das ist richtig und kann direkt aus f(x)= -1/2(x-3)(x+4) abgelesen werden.

Scheitelpunkt der Parabel S(y) = 6.

Das ist kein Punkt. Wenn der Scheitelpunkt (x_s|y_s) heißt, liegt x_s in der Mitte zwischen den Nullstellen: x_s= - 1/2.

Dies in f(x)= -1/2(x-3)(x+4) eingesetzt: f(x_s)=y_s=49/8.

Answer 3

f(x) = -1/2·(x - 3)·(x + 4)

Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt A·B·C ist genau dann Null wenn mind. einer der Faktoren Null ist. Daher kann man alle Faktoren getrennt gleich Null setzen.

-1/2·(x - 3)·(x + 4) = 0

-1/2 = 0 → Ist nie erfüllt
x - 3 = 0 → x = 3
x + 4 = 0 → x = -4

Die Nullstellen befinden sich bei -4 und 3.

Scheitelpunkt

Die x-Koordinate vom Scheitelpunkt ist der Mittelwert aus den beiden Nullstellen.

Sx = 1/2·(3 + (-4)) = -1/2 = -0.5

Die y-Koordinate errechnet man durch einsetzen der x-Koordinate in die Funktion.

Sy = f(Sx) = -1/2·(-1/2 - 3)·(-1/2 + 4) = 49/8 = 6.125

Der Scheitelpunkt befindet sich bei S(-0.5 | 6.125).

Answer 4

Der Faktor -1/2 beeinflusst die Lage der Nullstellen nicht. Das Minuszeichen bei -1/2 bewirkt, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.

Bei x-3=0 musst du überlegen, welchen Wert du für x einsetzen musst. Bei x=-3 hättest du -3-3=-6≠0. Für x=+3 bekommst du 3-3=0.

Entsprechend ist es bei x+4=0.