Grenzwert berechnen lim x-> unendlich x^2 (ln(1+1/x) - (1/x))

Question

hilfee wie kann ich den grenzwert von x^2 (ln(1+1/x) - (1/x)) berechnen mit lim gegen unendlich ?

mfg Markus

Answer 1

hi

lim x->∞ (x²(ln(1+1/x)-(1/x))) = ∞*0
ergibt den unbestimmten ausdruck ∞*0.

hier gibt es nen trick.
setze erst z = 1/x
x = 1/z
x² = 1/z²

x²(ln(1+1/x)-(1/x)) = 1/z²*(ln(1+z)-z) = (ln(1+z)-z)/z²
weil x gegen ∞ gehen soll und weil
x = 1/z ist, muss z jetzt gegen null gehen.

lim z->0 (ln(1+z)-z)/z²) = 0/0

das ergibt den unbestimmten ausdruck 0/0
jetzt kommt die regel von l'hospital ins spiel, zähler und nenner
separat nach z ableiten.
(ln(1+z)-z)'/(z²)'  = (1/(1+z) - 1) / (2z) =
(1/(1+z) - (1+z)/(1+z))/(2z) =
((1-1-z)/(1+z))/(2z) =
((-z)/(1+z))/(2z) =
(-z)/((1+z)(2z)) =
-1/((1+z)2) =
-1/(2+2z)

lim z->0 (-1/(2+2z)) =
-1/(2+0) = -1/2