K-Linearität von K → End(V ), λ → λ · φ zeigen

Question

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum und  φ: V → V  K-linear. Zeigen Sie:
Die Abbildung f: K → End(V ), λ → λ · φ ist K-linear.

Irgendwie erscheint mir meine Lösung zu simpel:

Zu zeigen:

$$\forall \alpha ,\lambda_1 ,\lambda_2\in K : f( \alpha \cdot \lambda_1 + \lambda_2) = \alpha \cdot f( \lambda_1) + f(\lambda_2) \\ Beweis: \qquad f( \alpha \cdot \lambda_1 + \lambda_2) = (\alpha \cdot \lambda_1 + \lambda_2) \cdot \phi = \alpha \cdot \lambda_1 \cdot \phi + \lambda_2 \cdot \phi = \alpha \cdot f( \lambda_1) + f(\lambda_2)$$

Mich verunsichert irgendwie, dass λ₁,λ₂ ja als Vektoren in K aufgefasst werden (K ist ja auch ein Vektorraum), und ich finde irgendwie komisch, dass ich diese Vektoren mit der Abbildung φ multipliziere.

Answer 1

$$(\alpha \cdot \lambda_1 + \lambda_2) \cdot \phi$$

und

$$\alpha \cdot \lambda_1 \cdot \phi + \lambda_2 \cdot \phi$$

sind doch beides Endomorphismen von V.

Um deren Gleichheit zu zeigen, muss man wohl

prüfen, ob für alle v∈V die Bilder gleich sind.

Comments

Ja, bin inzwischen auch selber drauf gekommen aber danke trotzdem.

Bisschen Schwierigkeiten bereitet mir die Bestimmung von kern(φ * λ) und bild(φ * λ). Der kern sollten doch diejenigen λ aus K sein, die auf die Nullabbildung

0: V → V, v ↦ 0 abgebildet werden.

Ist das nicht nur der Fall wenn λ = 0 oder wenn v = 0 ?

Bei dem bild habe ich keine Idee