zwei n-mal differenzierbare Funktionen beweisen

Question

Aufgabe: Seien f.g: D → R zwei n mal differenzierbare Funktionen. Zeigen Sie:

(f*g)^(n)= summe von k=0 bis n (n über k)f^(n-k) g^(k)

Problem/Ansatz: Mein Ansatz war es mittels vollständiger Induktion zu beweisen. Der Induktionsanfang sowie Induktionsvoraussetzung stellen kein Problem dar. Allerdings weiß ich nicht wie der Induktionsschritt nun funktioniert. Ich weiß ebenfalls nicht wie ich damit rechne wenn es differenzierbare Funktionen sind, was differenzierbare Funktionen sind ist mir bewusst. 

Für jede Hilfe bin ich dankbar. 

Comments

Habe es hinbekommen. Nochmals vielen Dank!!!

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du meintest ja, dass du es jetzt hättest...

Könntest du mir einmal zeigen, wie du das gemacht hast? #

Danke dir :)

Answer 1

Hallo,

(fg)⁽ⁿ⁺¹⁾=d/dx (fg)⁽ⁿ⁾

=...

Nun die Induktionsvoraussetzung einsetzen, die Summe mit der Produktregel ableiten und zusammenfassen.

Answer 2

wie ich damit rechne wenn es differenzierbare Funktionen sind

Genau so wie mit allen anderen Funktionen.

Die Voraussetzung, das f und g n-mal differenzierbar ist, ist nur deshalb notwendig, weil die Ableitungen auf der rechten Seite von

        $(f·g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)}g^{(k)}$

vorkommen.

Allerdings weiß ich nicht wie der Induktionsschritt nun funktioniert.

Die rechte Seite sieht aus wie die beim binomischen Lehrsatz. Schau dir den Beweis dazu an.

$\begin{aligned} \left(\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}f^{(n-k)}g^{(k)}\right)' & =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}\left(f^{(n-k+1)}g^{(k)}+f^{(n-k)}g^{(k+1)}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&\dots \end{aligned}$