Summenzeichen mit Indexverschiebungregeln

Question

Ich verstehe nicht, wie man dieser Schritte im Rot in den Beispiele IV und V schaffen kann. Die Beispiele sind vom Buch Vorkurs Mathematik - Erhard Cramer • Johanna Nešlehová, Seite 117.

(i) \( \sum \limits_{i=1}^{4}(i-1)=\sum \limits_{i=1-1}^{4-1} (i+1-1)=\sum \limits_{i=0}^{3} i=0+1+2+3=6 \)
(ii) \( \sum \limits_{i=3}^{10}(2 i-3)-2 \sum \limits_{i=1}^{8} i-8=\sum \limits_{i=1}^{8}(2(i+2)-3)-2 \sum \limits_{i=1}^{8} i-8 \)
\( =\sum \limits_{i=1}^{8}(2 i+1)-\sum \limits_{i=1}^{8}(2 i+1)=0 \)
(iii) \( \sum \limits_{i=2}^{k} x^{i-2}=\sum \limits_{i=0}^{k-2} x^{i} \)
(iv) \( \sum \limits_{k=1}^{n} 2^{k}-\sum \limits_{k=2}^{n+1} 2^{k-2}=\sum \limits_{k=1}^{n} 2^{k}-\sum \limits_{k=0}^{n-1} 2^{k}=\boxed{\sum \limits_{k=1}^{n-1} 2^{k}+2^{n}-\sum \limits_{k=1}^{n-1} 2^{k}}=2^{n}-1 \)
(v) \( \sum \limits_{i=1}^{n}\left(a_{i}-a_{i-1}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i-1}=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}-\sum \limits_{i=0}^{n-1} a_{i} \)
\(\boxed{= E\left(\sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i}+a_{n}\right)-\left(a_{0}+\sum \limits_{i=1}^{n-1} a_{i}\right)}=a_{n}-a_{0}\)

Comments

Meinst du den Schritt zu den roten Stellen oder von dort zum Schluss?

Schritt zum Schluss: Wenn man 2 mal denselben Term hat (egal wie kompliziert) und die voneinander subtrahiert, fallen sie weg.

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Ich meine den Schritt zu den roten Stellen. Welche regeln hat er benutzt?

Answer 1

Von links kommt man mit der Definition des Summenzeichens weiter. D.h. man schreibt die Summen mit Pünktchen vollständig hin und klammert dann so, wie man's brauchen kann.

Beispiel: Anfang deiner 2. roten Stelle:

i von 1 bis n ∑a_i  = a₁ + a₂ + a₃ + .......+ a_n-1 + a_n 

Und hier kann man die ersten n Summanden  als 

i von 1 bis n ∑a_i 

schreiben und dann einfach noch + a_n