Aufgabe:
y'= 2xy/(x^2-y^2)
Problem/Ansatz:
Ich kann leider einen Schritt aus der Musterlösung nicht nachvollziehen.
Habe den Bereiche gelb markiert.
Y / X = C · X · ( 1 +y^2 / X^2 ) | · X^2
<=> Y = C · X^2 · ( 1 + y^2 / X^2 )
<=> Y = C ·( X^2 + y^2 ) | · 1/C
<=> Y / C = X^2 + y^2 | - X^2
<=> Y / C - X^2 = y^2 | - Y/C
<=> - X^2 = y^2 - Y/C quadr. Ergänzung
<=> - X^2 + 1 / (2C) = Y^2 - Y/C + 1 / (2C)
<=> - X^2 + 1 / (2C) = ( y^2 - 1 / (2C) ) ^2
Im ersten Schritt ist das einfach eine Multiplikation mit \( x \) und auflösen der Klammer.
Danach kommt eine quadratische Ergänzung, kennst Du von Gleichungen 2'ten Grades.
Hallo,
alternativ:
Du kannst diese DGL auch als exacte DGL lösen.
y'=( 2xy)/(x^2-y^2) | *(x^2 -y^2)
y' (x^2-y^2)=2xy |-2xy
y' (x^2-y^2)-2xy =0
dy/dx ((x^2-y^2)-2xy) =0 |*dx
(x^2-y^2) dy -2xy dx=0
usw.
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