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Aufgabe:

Hi, ich soll nachweisen, dass  x(t) = A sin (ω · t) und x(t) = B cos (ω · t) die Differentialgleichung  x ̈(t) = − k x(t) erfüllen.


Problem/Ansatz:

Ich glaube man kann das durch Ableitungen nachweisen, allerdings hab ich keine Ahnung wie..

Danke schonmal im voraus!

von

1 Antwort

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Aloha :)

Du hast Recht, ein möglicher Weg des Nachweises besteht darin, die Lösungsvorschläge abzuleiten, einzusetzen und dann zu schauen, ob sie die Differentialgleichung erfüllen. Beim Ableiten musst du auf die Kettenregel achten:

$$x(t)=A\sin(\omega t)$$$$x'(t)=\omega A\cos(\omega t)$$$$x''(t)=-\omega^2 A\sin(\omega t)$$Einsetzen in die Differentialgeichung liefert:$$\underbrace{-\omega^2 A\sin(\omega t)}_{=x''(t)}=-k\,\underbrace{A\sin(\omega t)}_{=x(t)}\quad\Rightarrow\quad\omega^2=k$$

Dasselbe machen wir für die andere Lösung:

$$x(t)=A\cos(\omega t)$$$$x'(t)=-\omega A\sin(\omega t)$$$$x''(t)=-\omega^2 A\cos(\omega t)$$Einsetzen in die Differentialgeichung liefert:$$\underbrace{-\omega^2 A\cos(\omega t)}_{=x''(t)}=-k\,\underbrace{A\cos(\omega t)}_{=x(t)}\quad\Rightarrow\quad\omega^2=k$$

Beide Lösungen passen also. Genau genommen muss \(k\ge0\) gelten, weil \(\omega^2\) als Quadratzahl nie negativ werden kann. Wenn \(k<0\) ist, muss eine Exponentialfunktion als Lösung angesetzt werden.

von 23 k

vielen Dank! :)

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