Stochastik, Diagonalmatrix, charakteristisches Polynom

Question

Aufgabe:

Sei p(T) := T_n−α_n−1Tⁿ⁻¹−α_n−2Tⁿ⁻²−· · ·−α₀ ∈ K[T] ein Polynom.
Dann heißt die Matrix
A := 0 1 0 0 . . .    0
           0 1 0 . . .    .

            .  .  1 .  .    .

           . . . . ..  . . . .1

       α₀  α₁  .  . . .   α_n-1 

die Begleitmatrix zu p. Zeigen Sie:
(a) Für das charakteristische Polynom χ_A(T) von p gilt χA(T) = (−1)ⁿp(T).
(b) Ist λ Nullstelle von p(T), so ist (1, λ, . . . , λⁿ⁻¹) T Eigenvektor von A zum Eigenwert λ.
(c) Das Polynom p(T) habe n verschiedene Nullstellen λ₁, . . . , λ_n ∈ K. Bestimmen Sie eine
Matrix S, so dass S⁻¹AS eine Diagonalmatrix ist.