Lineare Abbildungen & Fortsetzung

Question

Sei$\begin{aligned}f\left(\vec{e}_{1}\right) &=\left(\begin{array}{c}{1} \\{2} \\{3}\end{array}\right), & f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{0} \\{-1}\end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{1} \\{1}\end{array}\right) \\g\left(\begin{array}{l}{1} \\{1} \\{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2} \\{2} \\{2}\end{array}\right), \quad g\left(\begin{array}{c}{2} \\{1} \\{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{0} \\{0}\end{array}\right), \quad g\left(\begin{array}{c}{1} \\{3} \\{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{1} \\{2}\end{array}\right) \\h\left(\begin{array}{c}{1} \\{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{9} \\{9}\end{array}\right), \quad h\left(\begin{array}{c}{-1} \\{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{11} \\{1}\end{array}\right)\end{aligned}$Per Linearer Fortsetzung sind damit die linearen Abbildungen $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ $h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ definiert.

a) Geben Sie $2 f\left(\vec{e}_{1}\right)+f\left(\vec{e}_{2}\right)-f\left(\vec{e}_{3}\right)$ sowie $f(2,1,-1)$ an.

b) Geben Sie $g(-1,0,-1)$ an. Vorschlag: Den Vektor $\vec{x}=(-1,0,-1)^{T}$ zunächst beziiglich der gleichen Basis, beziüglich derer $g$ gegeben ist, darstellen.

c) Geben Sie $h\left(\vec{e}_{1}\right), h\left(\vec{e}_{2}\right)$ an. Hinweis: Stellen Sie Gleichungen auf, die $h\left(\vec{e}_{1}\right)$ und $h\left(\vec{e}_{2}\right)$ erfüllen sollen. Führen Sie dann skalare Variable ein: $h\left(\vec{e}_{1}\right)=:(a, b)^{T}, h\left(\vec{e}_{2}\right)=:(c, d)^{T}$ und lösen Sie das entstehende LGS.

Answer 1

a) $2\cdot f\left(\vec{e}_{1}\right)+f\left(\vec{e}_{2}\right)-f\left(\vec{e}_{3}\right) = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$.

$\begin{aligned} f \left( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \right) &= f\left(2\cdot\vec{e_1}+1\cdot\vec{e_2}+(-1)\cdot\vec{e_3}\right)\\& = 2\cdot f\left(\vec{e_1}\right)+1\cdot f\left(\vec{e_2}\right)+(-1)\cdot f\left(\vec{e_3}\right)\end{aligned}$

b) Laut Vorschlag sollst du die Gleichung

$a\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} + c\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0\\-1 \end{pmatrix}$

lösen. Setze die Lösung dann in

$a\cdot g\left(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \right) + b\cdot g\left( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \right) + c\cdot g\left( \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} \right)$

ein.

c) Geht genau so wie b).