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Seif(eβƒ—1)=(123),f(eβƒ—2)=(10βˆ’1),f(eβƒ—3)=(111)g(110)=(222),g(211)=(100),g(131)=(112)h(12)=(99),h(βˆ’13)=(111)\begin{aligned}f\left(\vec{e}_{1}\right) &=\left(\begin{array}{c}{1} \\{2} \\{3}\end{array}\right), & f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{0} \\{-1}\end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{1} \\{1}\end{array}\right) \\g\left(\begin{array}{l}{1} \\{1} \\{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2} \\{2} \\{2}\end{array}\right), \quad g\left(\begin{array}{c}{2} \\{1} \\{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{0} \\{0}\end{array}\right), \quad g\left(\begin{array}{c}{1} \\{3} \\{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{1} \\{2}\end{array}\right) \\h\left(\begin{array}{c}{1} \\{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{9} \\{9}\end{array}\right), \quad h\left(\begin{array}{c}{-1} \\{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{11} \\{1}\end{array}\right)\end{aligned}Per Linearer Fortsetzung sind damit die linearen Abbildungen f : R3β†’R3,g : R3β†’R3 f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} h : R2β†’R2 h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definiert.

a) Geben Sie 2f(eβƒ—1)+f(eβƒ—2)βˆ’f(eβƒ—3) 2 f\left(\vec{e}_{1}\right)+f\left(\vec{e}_{2}\right)-f\left(\vec{e}_{3}\right) sowie f(2,1,βˆ’1) f(2,1,-1) an.

b) Geben Sie g(βˆ’1,0,βˆ’1) g(-1,0,-1) an. Vorschlag: Den Vektor xβƒ—=(βˆ’1,0,βˆ’1)T \vec{x}=(-1,0,-1)^{T} zunΓ€chst beziiglich der gleichen Basis, beziΓΌglich derer g g gegeben ist, darstellen.

c) Geben Sie h(eβƒ—1),h(eβƒ—2) h\left(\vec{e}_{1}\right), h\left(\vec{e}_{2}\right) an. Hinweis: Stellen Sie Gleichungen auf, die h(eβƒ—1) h\left(\vec{e}_{1}\right) und h(eβƒ—2) h\left(\vec{e}_{2}\right) erfΓΌllen sollen. FΓΌhren Sie dann skalare Variable ein: h(eβƒ—1)= : (a,b)T,h(eβƒ—2)= : (c,d)T h\left(\vec{e}_{1}\right)=:(a, b)^{T}, h\left(\vec{e}_{2}\right)=:(c, d)^{T} und lΓΆsen Sie das entstehende LGS.

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a) 2β‹…f(eβƒ—1)+f(eβƒ—2)βˆ’f(eβƒ—3)=2β‹…(123)+(10βˆ’1)βˆ’(111)2\cdot f\left(\vec{e}_{1}\right)+f\left(\vec{e}_{2}\right)-f\left(\vec{e}_{3}\right) = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} .

f((21βˆ’1))=f(2β‹…e1βƒ—+1β‹…e2βƒ—+(βˆ’1)β‹…e3βƒ—)=2β‹…f(e1βƒ—)+1β‹…f(e2βƒ—)+(βˆ’1)β‹…f(e3βƒ—) \begin{aligned} f \left( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \right) &= f\left(2\cdot\vec{e_1}+1\cdot\vec{e_2}+(-1)\cdot\vec{e_3}\right)\\& = 2\cdot f\left(\vec{e_1}\right)+1\cdot f\left(\vec{e_2}\right)+(-1)\cdot f\left(\vec{e_3}\right)\end{aligned}

b) Laut Vorschlag sollst du die Gleichung

aβ‹…(110)+bβ‹…(211)+cβ‹…(131)=(βˆ’10βˆ’1)a\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} + c\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0\\-1 \end{pmatrix}

lΓΆsen. Setze die LΓΆsung dann in

aβ‹…g((110))+bβ‹…g((211))+cβ‹…g((131)) a\cdot g\left(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \right) + b\cdot g\left( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \right) + c\cdot g\left( \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} \right)

ein.

c) Geht genau so wie b).

Avatar von 107 k πŸš€

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Gefragt 15 Feb 2024 von Txman
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