Widerlegen oder beweisen von Aussagen

Question

Aufgabe:

Es seienA,B∈R hoch n×n quadratische Matrizen mit n>0. Wir schreiben 0∈R hoch n×n für die Nullmatrix und I∈R hoch n×n für die Einheitsmatrix. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen

(a)  Ist A invertierbar mit inverser Matrix A hoch −1, so ist A hoch −1 invertierbar mit inverser Matrix A.

(b)  Das Produkt AB ist genau dann invertierbar, wenn sowohl A als auch B invertierbar ist.

(c)  Ist A+B invertierbar, so ist A oder B invertierbar.

(d)  Sind A und B invertierbar, so ist A+B invertierbar.

(e)  Gilt A²=0, so gilt A=0.

(f)  Gilt A²=0, so ist A+I invertierbar.

Problem/Ansatz:

Wie beweist man oder Widerlegt man diese Aussagen?

Comments

Hallo

 man versuchts mal mit 2 mal 2 Matrices, dann findet man mindestens die falschen Behauptungen.

 die anderen versucht man dann zu zeigen.

Gruß lul

Answer 1

(a) Die Menge der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation.

(b) Die Menge der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation. Laut der Rangungleichung von Sylvester ist

        Rang(A·B) ≤ min {Rang(A), Rang(B)}.

(c) Stelle I als geeignete Summe dar.

(d) I und -I sind invertierbar.

(e) Zeige dass die Gleichung

        \(\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\)

    nicht nur die Lösung \(a=b=c=d=0\) hat.