Exponentialgleichung 2^(3*x-1)= 5^(x+1)

Question

Aufgabe:

2^(3*x-1)= 5^(x+1)

Problem/Ansatz:

Ich habe rausgefunden dass die Lösung für x bei ca 4,9 liegt...

Jedoch sind alle meine Rechenwegsendergebnisse nicht mit der Lösung übereinstimmend ... kann mir vielleicht jemand den Rechenweg erklären und schreiben? (PS: Ob mit 10er Logarithmus oder anderem Logarithmus idt egal)

Eine relativ schnelle Antwort wäre super...

Answer 1

\(2^{3x-1}= 5^{x+1}  ~~~~~~| \lg\)

\(\lg (2^{3x-1})= \lg(5^{x+1})  ~~~~~~\)

\((3x-1)\lg2=(x+1)\lg 5\)

\(3x\lg2 -\lg 2 = x\lg5+\lg5\)

\(x(3\lg2-\lg5)=\lg5+\lg2\)

\(x=\dfrac{\lg5+\lg2}{3\lg2-\lg5}\)

\(x=\dfrac{1}{3\lg2-\lg5}\)

\(x\approx 4.89907938943\)

Answer 2

Aloha :)

$$\left.2^{3x-1}=5^{x+1}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.(3x-1)\ln(2)=(x+1)\ln(5)\quad\right|\;\text{ausrechnen}$$$$\left.3x\,\ln(2)-\ln(2)=x\,\ln(5)+\ln(5)\quad\right|\;-x\,\ln(5)+\ln(2)$$$$\left.3x\,\ln(2)-x\ln(5)=\ln(2)+\ln(5)\quad\right|\;\text{Logarithmengesetze anwenden}$$$$\left.x\ln(2^3)-x\ln(5)=\ln(2)+\ln(5)\quad\right|\;\text{links x ausklammern}$$$$\left.x\left(\ln(8)-\ln(5)\right)=\ln(2)+\ln(5)\quad\right|\;:(\ln(8)-\ln(5))$$$$\left.x=\frac{\ln(2)+\ln(5)}{\ln(8)-\ln(5)}\quad\right.$$$$\left.x=\frac{\ln(2\cdot5)}{\ln\left(\frac{8}{5}\right)}\approx4,8991\quad\right.$$