Konvergenz von Potenzreihen untersuchen

Question

Hallo liebe Community!

Bei folgender Aufgabe zu (Potenz-)Reihen komme ich einfach nicht voran:

Untersuchen Sie die nachfolgenden Reihen bezüglich ihrer Konvergenz:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n + 2}{3^{n+1}}$$ $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n/3)^n}{n!}$$ $$\sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \, log^a \, n} \quad für \, a > 0 $$

Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe!

Answer 1

Hallo,

Aufgabe 2)

$$ $$ $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n/3)^n}{n!}$$ $$  $$

Lösung durch Quotientenkriterium

allgemein: \( \lim\limits_{n\to\infty} \) | a_n+1/a_n|

a_n+1= (((n+1)/3)^(n+1))/(n+1)!

a_n= (((n/3)^(n))/n!

allgemein gilt:

(n+1)!= (n+1) *n!

eingesetzt:

=1/3 *e = e/3≈ 0.91 <1 ->konvergent

Aufgabe 1)

Lösung durch Quotientenkriterium

Lösungsweg ähnlich wie Aufgabe 2)

Lösung: 1/3 <1 ->konvergent

Comments

Besten Dank! Das Hilft mir wirklich weiter ;)

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Mittlerweile konnte ich die beiden letzen Aufgaben selbst lösen. Die letze Folge konvergiert nach dem Integralkriterium für alle a \(\gt\) 0. Das Integral, welches man für die Reihe herausbekommt ist also \(\lt\) \(\infty\). Vielen Dank nochmals für die Hilfe!