Warum sind die geraden Zahlen eine zyklische Gruppe?

Question

Wir haben gelernt, dass eine zyklische Gruppe die From {aⁿ : n∈ℤ} hat. Außerdem wurde gesagt, dass die von 2 erzeugte zyklische Untergruppe von ℤ alle geraden Zahlen erhält.

Wie passt das zusammen?

Die von 2 erzeugte zyklische Untergruppe ist doch {2⁰, 2 ¹ , 2², 2³ ,.. .} = {1, 2, 4, 8, ...}. Aber das sind doch gar nicht alle geraden Zahlen?! 6 ist doch z.B. kein Element dieser zyklischen Untergruppe.

Es wäre toll, wenn mir jemand da weiterhelfen könnte :)

Answer 1

Man schreibt allgemeine Gruppen multiplikativ, d.h. (G,*) bezeichnet die Gruppe.

Dementsprechend ist dann $$a^n:=a\cdot \ldots \cdot a$$. Es gibt aber noch additiv geschriebene Gruppen (macht man gern mal für abelsche Gruppen.) Dort schreibt man statt aⁿ na mit analog $$na:=a+\ldots +a$$.

 

Was dich hätte stutzig machen sollen  ist, dass (ℤ,*) keine Gruppe ist.

Zur Gruppe gehört sowohl die Menge als auch die Verknüpfung.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Also habe ich das so richtig verstanden: Es gibt sowohl additive als auch multiplikative zyklische Gruppen? Das heißt die 2 beispielsweise erzeugt zwei zyklische Gruppen, eine mit allen Potenzen 2ⁿ und eine mit allen geraden Zahlen 2n?