Koordinatendarstellung bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Koordinatendarstellungen der Vekotren a, b, c bzgl. der Einheitsvektoren e1, e2 des |R^2

a = \( \begin{pmatrix} 5\\2\\ \end{pmatrix} \)

b = \( \begin{pmatrix} 2\\0\\ \end{pmatrix} \)

c = \( \begin{pmatrix} s\\t\ \end{pmatrix} \)

1) Durch Drehung der Einheitsvektoren e1,e2 um 45 Grad entgegen dem Uhrzeigersinn gehen diese über in die Vektoren e3, e4. Bestimme die Koordinatendarstellung von e3, e4 bzgl. e1, e2

2) Wie lautet die Koordinatendarstellung der Vektoren a, b, c bzgl. der neuen Einheitsvektoren e3 . e4

Also bei der 1) kam bei mir raus dass e3 = \( \begin{pmatrix} \sqrt{2}/2\\\sqrt{2}/2\\ \end{pmatrix} \) e4 = \( \begin{pmatrix} -\sqrt{2}/2\\\sqrt{2}/2\\ \end{pmatrix} \)

bei der 2 hab ich keine Ahnung !

Answer 1

Dann stellst Du Deine e3,e4 in eine Matrix

\(\small _{e12}T_{e34} \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{2} \; \sqrt{2}&-\frac{1}{2} \; \sqrt{2}\\\frac{1}{2} \; \sqrt{2}&\frac{1}{2} \; \sqrt{2}\\\end{array}\right)\)

die beschreibt einen Basiswechsel von {e3,e4}->{e1,e2} - die Inverse (oder bei Drehungen die Transponierte) den Wechsel von {e1,e2}->{e3,e4}-

\(\small _{e34}T_{e12} \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{2} \; \sqrt{2}&\frac{1}{2} \; \sqrt{2}\\-\frac{1}{2} \; \sqrt{2}&\frac{1}{2} \; \sqrt{2}\\\end{array}\right)\)

damit

a_e34:=_e34T_e12 a = \(\small   \binom{\frac{7}{2} \; \sqrt{2}}{-\frac{3}{2} \; \sqrt{2}}\)

b,c analog...

Comments

Ich hab diesen Lösungsweg leider nicht verstanden.

kannst du mir sagen was du genau gemacht hast ?

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und hab ich e3 e4 richtig bestimmt ?

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Deine Angaben zu e3,e4 sind korrekt.

Was verstehst Du an den Basiswechselmatrizen nicht?

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Das haben wir an der Uni gar nicht behandelt. bin mit dem Konzept nicht vertraut

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Hm,

welches Konzept schwebt da denn im Raum?

hier eine Kurzfassung https://www.geogebra.org/m/zNtvcrTu

Konkret zur Anschauung ein Beispiel (die Indizes geben die Bezugsbasis an)

Text erkannt:

\( \small e 34_{e 12}=e 3_{e 12}+e 4_{e 12}=\left(\begin{array}{cc}{\frac{1}{2}} & {\sqrt{2}} \\ {\frac{1}{2}} & {\sqrt{2}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{-\frac{1}{2}} & {\sqrt{2}} \\ {\frac{1}{2}} & {\sqrt{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{0} \\ {\sqrt{2}}\end{array}\right) \)
\[\small
\begin{array}{rl}
{\mathrm{e} 34_{\mathrm{e} 34}=} & {1 \mathrm{e} 3_{34}+1 \mathrm{e} 4_{34}=\left(\begin{array}{l}
{1} \\
{0}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
{0} \\
{1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
{1} \\
{1}
\end{array}\right)} \\

\end{array}
\]

Answer 2

Löse für die Darstellung des Vektors a das Gleichungssystem

\(r\cdot\frac{\sqrt2}{2} +s\cdot\frac{-\sqrt2}{2}  =5               \)

\(r\cdot\frac{\sqrt2}{2} +s\cdot\frac{\sqrt2}{2}  =2              \)

Comments

Danke sehr !!

aber hab ich e3 e4 richtig ausgerechnet?