Orthogonale Projektion auf Ebene

Question

Aufgabe:

(Ebenen, Orthogonalprojektion) Gegeben sei die Ebene
$$ E=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}-x_{3}=0\right\} $$
a) Geben Sie \( E \) in Parameterdarstellung an.
b) Bestimmen Sie für einen beliebigen Vektor \( \vec{w}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \) die orthogonale Projektion \( P_{E}(\vec{w}) \) auf \( E . \) Geben Sie eine Matrix \( M \in \mathbb{R}^{(3,3)} \) an, sodass \( P_{E}(\vec{w})=M \vec{w} \) gilt.

Fragestellung: 

Ist meine Art der Bearbeitung so richtig ?

Text erkannt:

$$ E: \quad\left(x \in \mathbb{R}^{3}: \quad x_{1}+x_{2}-x_{3}=0\right) $$
a) \( E:=\vec{x}=\left(\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {3}\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \lambda d \mu \in \mathbb{R} \)
b) \( \vec{n}=\left(\begin{array}{l}{2} \\ {3} \\ {1}\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{3} \\ {-3} \\ {3}\end{array}\right) \quad g:=\left(\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right)+\alpha\left(\begin{array}{c}{3} \\ {-3} \\ {3}\end{array}\right) \)
$$ \begin{array}{l} {P_{D}=\left(\begin{array}{ll} {x_{1}} & {+3 x} \\ {x_{2}^{2}-3 x} & {\in g} \\ {x_{3}^{2}+3 x} \end{array}\right) \in g} \\ {E \cap g:\left(x_{1}+3 x\right)+\left(x_{2}-3 x\right)-\left(x_{3}+3 x\right)=0} \end{array} $$
\( x_{1}+x_{2}-x_{3}-3 x=0 \)
\( \Leftrightarrow \alpha=\frac{1}{3} x_{1}+\frac{1}{3} x_{2}-\frac{1}{3} x_{3} \)
$$ \text { in } g:\left(\begin{array}{c} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right)+\left(\frac{1}{3} x_{1}+\frac{1}{3} x_{2}-\frac{1}{3} x_{3}\right) \cdot\left(-\frac{3}{3}\right)= $$
\( =\left(\begin{array}{ll}{x_{1}} & {-x_{1}+x_{2}-x_{3}} \\ {x_{2}} & {-x_{1}-x_{2}+x_{3}} \\ {x_{3}} & {+x_{1}+x_{2}-x_{3}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2 x_{1}+x_{2}-x_{3}} \\ {-x_{1}+x_{3}} \\ {x_{1}+x_{2}}\end{array}\right) \)
\( (\vec{r})=\left(\begin{array}{ccc}{2} & {1} & {-1} \\ {-1} & {0} & {1} \\ {1} & {1} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right) \)

Comments

Hallo,

nehme für den Aufgabenteil b) die Normalenform der Ebenengleichung. Mit dem Normalenvektor \(n\) einer Ursprungsebene ist die gesuchte Matrix \(M\)$$M = \underline 1 - \frac 1{n^2} n\cdot n^T$$ \(\underline 1\) ist die Einheitsmatrix und \(n \cdot n^T\) ist das diadische Produkt. In diesem Fall mit \(n=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\) also $$\begin{aligned} M &= \underline 1 - \frac 1{n^2} n\cdot n^T \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0&1 & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} - \frac 13 \begin{pmatrix} 1 & 1& -1\\ 1 & 1& -1\\ -1& -1& 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac 13 \begin{pmatrix} 2& -1& 1\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{pmatrix} \end{aligned}$$

Answer 1

Der Vektor \( \vec{n} \) ist kein Normalenvektor zu E. Man kann so einen Vektor direkt an der Koordinatenform ablesen, oder man berechnet einen aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren. Die anderen Rechnungen sehen gut aus, basieren aber auf dem falschen Normalenvektor. Und die Koordinaten des zu projizierenden Vektors solltest du mit w₁, w₂ und w₃ benennen.

Comments

Ist n=(1,1,–1) ein normalenvektor ?

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Ja, genau. (Und jetzt sind es mindestens 12 Buchstaben)

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Dankeschön für die Hilfe

Answer 2

Lege E in der Hesse-Normalform an n=(1,1,-1)/sqrt((1,1,-1)^2)

E≔n (x,y,z)=\(\small    \, \left( \begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r}x\\y\\ z\\ \end{array} \right) \) = d Abstand (x,y,z) von E

Der Lot Fußpunkt ist dann

F=(x,y,z) - d n

eingesetzt

\( \small F \, :=  \, \left(\frac{2}{3} \; x - \frac{1}{3} \; y + \frac{1}{3} \;  , -\frac{1}{3} \; x + \frac{2}{3} \; y + \frac{1}{3} \; z , \frac{1}{3} \; x + \frac{1}{3} \; y + \frac{2}{3} \;  \right)\)

das als Matrix

\(\small P_E(\omega) \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{r}x\\y\\ z\\ \end{array} \right) \)

Beispiel

C=(-6,-6,5)^T ===> P_E( C ) = (-1/3,-1/3,-2/3)^T ∈ E