Sind XXX und YYY metrische Räume und ist (fn)n(f_n)_n(fn)n eine Folge von stetigen Abbildungen fn : X→Yf_n : X\to Yfn : X→Y, die gleichmäßig gegen die Abbildung f : X→Yf : X\to Yf : X→Y konvergiert. Warum ist dann die Grenzfunktion fff ebenfalls wieder stetig?
Antwort:Sei a∈Xa\in Xa∈X. Mit der Dreiecksungleichung bekommt man die für alle x∈Xx\in Xx∈X und n∈Nn\in \mathbb{N}n∈N gültige Abschätzung:d(f(a),f(x))≤d(f(a),fn(a))+d(fn(a),fn(x))+d(fn(x),f(x))d(f(a),f(x))\leq d(f(a),f_n(a))+d(f_n(a),f_n(x))+d(f_n(x),f(x))d(f(a),f(x))≤d(f(a),fn(a))+d(fn(a),fn(x))+d(fn(x),f(x)) Ich verstehe die Abschätzung nicht wirklich, kann das jemand nochmal weiter ausführen?
d(f(a),f(x))≤d(f(a),fn(x))+d(fn(x),f(x))≤d(f(a),fn(a))+d(fn(a),fn(x))+d(fn(x),f(x)) d(f(a),f(x))\\\leq d(f(a),f_n(x))+d(f_n(x),f(x)) \\ \leq d(f(a),f_n(a)) +d(f_n(a),f_n(x))+d(f_n(x),f(x)) d(f(a),f(x))≤d(f(a),fn(x))+d(fn(x),f(x))≤d(f(a),fn(a))+d(fn(a),fn(x))+d(fn(x),f(x))Es wurde zwei mal durch die Dreiecksungleichung jeweils auf den ersten Term abgeschätzt
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