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Aufgabe:

Nach 24h hat die Medikamentenkonzentration im Blut noch 1/8 des Anfangswerts. Wie lautet die Halbwertszeit?


Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Aufgabe?

von

4 Antworten

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Exponentielles Wachstum:

(1)        f(x) = a · cx.

Dabei ist

  • a der Anfangsbestand
  • c der Wachstumsfaktor
  • x die Zeit
  • f(x) der Bestand zum Zeitpunkt x.

Das solltest du auf jeden Fall verinnerlichen. Es ist die Grundlage für jede Beschäftigung mit exponentiellem Wachstum.

Wie lautet die Halbwertszeit?

Es ist ein bestimmter Wert für x gesucht. Bevor man (1) dazu verwenden kann, muss man zunächst a und c kennen.

Nach 24h

(2)        x = 24.

noch 1/8 des Anfangswerts.

Anfangswert ist unbekannt. Deshalb bleibt er vorerst a.

1/8 von a ist 1/8·a, also

(3)        f(x) = 1/8·a.

Einsetzen von (2) und (3) in (1) liefert

(4)        1/8·a = a·c24.

Umstellen von (4) nach c liefert

(5)        c = 24√(1/8).

Das a in (4) fällt durch Division weg. Einsetzen von (5) in (1) liefert

(6)        f(x) = a · (24√(1/8))x.

a ist immer noch unbekannt. Das schadet aber nicht, wie sich herausstellen wird.

Wie lautet die Halbwertszeit?

Das ist die Zeit, nach der die Konzentration nur noch halb so groß ist wie am Anfang. Also

(7)       f(x) = 1/2·a.

Einsetzen von (7) in (6) liefert

(8)        1/2·a = a·(24√(1/8))x.

Löse Gleichung (8) nach x auf. Das ist die Halbwertszeit in Stunden.

[Kontrollergebnis: x=8]

von 54 k 🚀
[Kontrollergebnis: x=6]

Hallo oswald,

x=8

Also vor einer Stunde war bei mir 24:3 noch 6. Krass wie schnell sich die Mathematik doch wandelt.

Ist mir auch schon passiert. Mathe-Fans sind halt auch nur Menschen.  :-)

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1 Halbwertszeit → 1/2

2 Halbwertszeiten → 1/4

3 Halbwertszeiten → 1/8

Aha! 3HWZ entsprechen 24h, also HWZ=8h

von 9,5 k

Ein weiteres Beispiel:

Welche HWZ liegt vor, wenn nach 12h noch 1/8 eines Stoffes vorhanden sind?

Lösung: 12:3= 4h

stimmt das?

Richtig.

Bei 1/16 musst du durch 4 teilen, bei 1/32 durch 5 usw.

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Hallo,

eine Möglichkeit ist eine Tabelle anlegen:

zeit  0 6 12 24
Anfangsbestand  1 0,5 0,25 0,125

Halbwertzeit:  Anfangswert * (1-0,5)x
wobei das Intervall   6 Zeiteinheiten sind

von 26 k
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0,125 =a^24

a = 0,125^(1/24)

0,5= a^t

t=ln0,5/lna = 8 Std.

von 41 k

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