Wie zeigt man, dass Nebenklassen linear unabhängig sind?

Question

Sei V ein K-Vektorraum und U ein UVR von V. Angenommen man hat noch zwei Vektoren v,w∈V gegeben und soll zeigen, dass die Nebenklassen v+U und w+U lin. unabhängig sind. Der Ansatz wäre ja

$\lambda_{1}(v+U) + \lambda_{2}(w+U) = U$,

also

$(\lambda_{1}v+\lambda_{2}w)+U = U$,

und man müsste zeigen, dass $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$. Wie würde man das anstellen, würde man

a) Zeigen, dass $(\lambda_{1}v+\lambda_{2}w) \in U$ nur für $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$ gilt, oder

b) Zeigen, dass aus $\lambda_{1}v+\lambda_{2}w=0$ folgt, dass $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$ ?

Kann bitte jemand etwas Licht ins Dunkeln bringen?

Comments

a) wäre eine Möglichkeit.

b) zeigt nichts

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Vielen Dank! :)

Answer 1

und soll zeigen, dass die Nebenklassen v+U und w+U lin. unabhängig sind.

Das sind sie aber nicht, wenn v ∈U und w∈U sind.

Comments

Okay, ich hätte vielleicht schreiben sollen: "...und soll überprüfen, ob die Nebenklassen lin. unabhängig sind", mein Fehler, sorry.

Meine Frage ist einfach: Du wolltest prüfen, ob v+U und w+U lin. unabhängig sind, was würdest du tun?

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Würdest du prüfen, wann av + bw = 0, oder wann av + bw ∈U gilt? (bzw. für welche Skalare a und b)

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Kannst du mir bitte noch diese Frage beantworten? Ich hänge fest